Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26927 / 5873
↖ ↑ ↗
← N 81.320764°
W 32.085571°		 ← 92.17 m → N 81.320764°
W 32.080078°		 →
↑
92.19 m
↓
↑
92.19 m
↓
N 81.319935°
W 32.085571°		 ← 92.18 m →
8 497 m²		 N 81.319935°
W 32.080078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410881042480469 y=0.0896224975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410881042480469 × 216)
    floor (0.410881042480469 × 65536)
    floor (26927.5)     		tx = 26927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0896224975585938 × 216)
    floor (0.0896224975585938 × 65536)
    floor (5873.5)     		ty = 5873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26927 / 5873 ti = "16/26927/5873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26927/5873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26927 ÷ 216
    26927 ÷ 65536     		x = 0.410873413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5873 ÷ 216
    5873 ÷ 65536     		y = 0.0896148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410873413085938 × 2 - 1) × π
    -0.178253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55999886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0896148681640625 × 2 - 1) × π
    0.820770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57852583056282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55999886} λ = -0.55999886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57852583056282))-π/2
    2×atan(13.1776976747302)-π/2
    2×1.49505570207832-π/2
    2.99011140415665-1.57079632675     		φ = 1.41931508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55999886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.085571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41931508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.320764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26927 KachelY 5873 -0.55999886 1.41931508 -32.085571 81.320764
    Oben rechts KachelX + 1 26928 KachelY 5873 -0.55990299 1.41931508 -32.080078 81.320764
    Unten links KachelX 26927 KachelY + 1 5874 -0.55999886 1.41930061 -32.085571 81.319935
    Unten rechts KachelX + 1 26928 KachelY + 1 5874 -0.55990299 1.41930061 -32.080078 81.319935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41931508-1.41930061) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dl = 92.1883699999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41931508-1.41930061) × R
    1.44699999999887e-05 × 6371000     		dr = 92.1883699999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55999886--0.55990299) × cos(1.41931508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150902581987615 × 6371000     		do = 92.1694515394555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55999886--0.55990299) × cos(1.41930061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150916886270616 × 6371000     		du = 92.1781884205711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41931508)-sin(1.41930061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150902581987615-0.150916886270616)×R²
    abs(-0.55990299--0.55999886)×1.4304283001032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4304283001032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4304283001032e-05×40589641000000     		ar = 8497.35422063947m²