Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26925 / 6958
↖ ↑ ↗
← N 80.373544°
W 32.096558°		 ← 102.14 m → N 80.373544°
W 32.091065°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
N 80.372625°
W 32.096558°		 ← 102.15 m →
10 438 m²		 N 80.372625°
W 32.091065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410850524902344 y=0.106178283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410850524902344 × 216)
    floor (0.410850524902344 × 65536)
    floor (26925.5)     		tx = 26925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106178283691406 × 216)
    floor (0.106178283691406 × 65536)
    floor (6958.5)     		ty = 6958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26925 / 6958 ti = "16/26925/6958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26925/6958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26925 ÷ 216
    26925 ÷ 65536     		x = 0.410842895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6958 ÷ 216
    6958 ÷ 65536     		y = 0.106170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410842895507812 × 2 - 1) × π
    -0.178314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56019061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106170654296875 × 2 - 1) × π
    0.78765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4745027583873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56019061} λ = -0.56019061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4745027583873))-π/2
    2×atan(11.8758005025208)-π/2
    2×1.48678965133159-π/2
    2.97357930266317-1.57079632675     		φ = 1.40278298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56019061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.096558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40278298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.373544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26925 KachelY 6958 -0.56019061 1.40278298 -32.096558 80.373544
    Oben rechts KachelX + 1 26926 KachelY 6958 -0.56009474 1.40278298 -32.091065 80.373544
    Unten links KachelX 26925 KachelY + 1 6959 -0.56019061 1.40276694 -32.096558 80.372625
    Unten rechts KachelX + 1 26926 KachelY + 1 6959 -0.56009474 1.40276694 -32.091065 80.372625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40278298-1.40276694) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40278298-1.40276694) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56019061--0.56009474) × cos(1.40278298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16722400135532 × 6371000     		do = 102.138374878291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56019061--0.56009474) × cos(1.40276694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167239815473419 × 6371000     		du = 102.148033948219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40278298)-sin(1.40276694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16722400135532-0.167239815473419)×R²
    abs(-0.56009474--0.56019061)×1.58141180989779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58141180989779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58141180989779e-05×40589641000000     		ar = 10438.0998596042m²