Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26924 / 6959
↖ ↑ ↗
← N 80.372625°
W 32.102051°		 ← 102.15 m → N 80.372625°
W 32.096558°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
N 80.371707°
W 32.102051°		 ← 102.16 m →
10 433 m²		 N 80.371707°
W 32.096558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410835266113281 y=0.106193542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410835266113281 × 216)
    floor (0.410835266113281 × 65536)
    floor (26924.5)     		tx = 26924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106193542480469 × 216)
    floor (0.106193542480469 × 65536)
    floor (6959.5)     		ty = 6959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26924 / 6959 ti = "16/26924/6959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26924/6959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26924 ÷ 216
    26924 ÷ 65536     		x = 0.41082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6959 ÷ 216
    6959 ÷ 65536     		y = 0.106185913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56028648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106185913085938 × 2 - 1) × π
    0.787628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47440688458806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56028648} λ = -0.56028648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47440688458806))-π/2
    2×atan(11.8746619789858)-π/2
    2×1.48678163475235-π/2
    2.9735632695047-1.57079632675     		φ = 1.40276694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56028648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.102051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40276694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.372625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26924 KachelY 6959 -0.56028648 1.40276694 -32.102051 80.372625
    Oben rechts KachelX + 1 26925 KachelY 6959 -0.56019061 1.40276694 -32.096558 80.372625
    Unten links KachelX 26924 KachelY + 1 6960 -0.56028648 1.40275091 -32.102051 80.371707
    Unten rechts KachelX + 1 26925 KachelY + 1 6960 -0.56019061 1.40275091 -32.096558 80.371707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40276694-1.40275091) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40276694-1.40275091) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56028648--0.56019061) × cos(1.40276694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167239815473419 × 6371000     		do = 102.148033948219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56028648--0.56019061) × cos(1.40275091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167255619689355 × 6371000     		du = 102.157686970027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40276694)-sin(1.40275091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167239815473419-0.167255619689355)×R²
    abs(-0.56019061--0.56028648)×1.58042159356664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58042159356664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58042159356664e-05×40589641000000     		ar = 10432.5784599747m²