Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26924 / 5420
↖ ↑ ↗
← N 81.688321°
W 32.102051°		 ← 88.29 m → N 81.688321°
W 32.096558°		 →
↑
88.30 m
↓
↑
88.30 m
↓
N 81.687527°
W 32.102051°		 ← 88.30 m →
7 797 m²		 N 81.687527°
W 32.096558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410835266113281 y=0.0827102661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410835266113281 × 216)
    floor (0.410835266113281 × 65536)
    floor (26924.5)     		tx = 26924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0827102661132812 × 216)
    floor (0.0827102661132812 × 65536)
    floor (5420.5)     		ty = 5420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26924 / 5420 ti = "16/26924/5420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26924/5420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26924 ÷ 216
    26924 ÷ 65536     		x = 0.41082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5420 ÷ 216
    5420 ÷ 65536     		y = 0.08270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56028648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08270263671875 × 2 - 1) × π
    0.8345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62195666161859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56028648} λ = -0.56028648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62195666161859))-π/2
    2×atan(13.7626260591566)-π/2
    2×1.49826324353029-π/2
    2.99652648706059-1.57079632675     		φ = 1.42573016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56028648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.102051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42573016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.688321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26924 KachelY 5420 -0.56028648 1.42573016 -32.102051 81.688321
    Oben rechts KachelX + 1 26925 KachelY 5420 -0.56019061 1.42573016 -32.096558 81.688321
    Unten links KachelX 26924 KachelY + 1 5421 -0.56028648 1.42571630 -32.102051 81.687527
    Unten rechts KachelX + 1 26925 KachelY + 1 5421 -0.56019061 1.42571630 -32.096558 81.687527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42573016-1.42571630) × R
    1.38600000001432e-05 × 6371000     		dl = 88.3020600009123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42573016-1.42571630) × R
    1.38600000001432e-05 × 6371000     		dr = 88.3020600009123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56028648--0.56019061) × cos(1.42573016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144557901828504 × 6371000     		do = 88.2941984937091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56028648--0.56019061) × cos(1.42571630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144571616233935 × 6371000     		du = 88.3025750848188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42573016)-sin(1.42571630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144557901828504-0.144571616233935)×R²
    abs(-0.56019061--0.56028648)×1.37144054303817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37144054303817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37144054303817e-05×40589641000000     		ar = 7796.92944871476m²