Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26922 / 5545
↖ ↑ ↗
← N 81.588470°
W 32.113037°		 ← 89.35 m → N 81.588470°
W 32.107544°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
N 81.587667°
W 32.113037°		 ← 89.36 m →
7 981 m²		 N 81.587667°
W 32.107544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410804748535156 y=0.0846176147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410804748535156 × 216)
    floor (0.410804748535156 × 65536)
    floor (26922.5)     		tx = 26922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0846176147460938 × 216)
    floor (0.0846176147460938 × 65536)
    floor (5545.5)     		ty = 5545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26922 / 5545 ti = "16/26922/5545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26922/5545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26922 ÷ 216
    26922 ÷ 65536     		x = 0.410797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5545 ÷ 216
    5545 ÷ 65536     		y = 0.0846099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.17840576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56047823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0846099853515625 × 2 - 1) × π
    0.830780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.60997243671358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56047823} λ = -0.56047823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60997243671358))-π/2
    2×atan(13.598676022463)-π/2
    2×1.49739188051392-π/2
    2.99478376102783-1.57079632675     		φ = 1.42398743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56047823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.113037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42398743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.588470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26922 KachelY 5545 -0.56047823 1.42398743 -32.113037 81.588470
    Oben rechts KachelX + 1 26923 KachelY 5545 -0.56038236 1.42398743 -32.107544 81.588470
    Unten links KachelX 26922 KachelY + 1 5546 -0.56047823 1.42397341 -32.113037 81.587667
    Unten rechts KachelX + 1 26923 KachelY + 1 5546 -0.56038236 1.42397341 -32.107544 81.587667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42398743-1.42397341) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dl = 89.3214199989611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42398743-1.42397341) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dr = 89.3214199989611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56047823--0.56038236) × cos(1.42398743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146282106398733 × 6371000     		do = 89.3473215581831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56047823--0.56038236) × cos(1.42397341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146295975570028 × 6371000     		du = 89.3557926783897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42398743)-sin(1.42397341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146282106398733-0.146295975570028)×R²
    abs(-0.56038236--0.56047823)×1.38691712943673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38691712943673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38691712943673e-05×40589641000000     		ar = 7981.00796107839m²