Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26920 / 6758
↖ ↑ ↗
← N 80.555536°
W 32.124024°		 ← 100.24 m → N 80.555536°
W 32.118530°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
N 80.554635°
W 32.124024°		 ← 100.25 m →
10 046 m²		 N 80.554635°
W 32.118530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410774230957031 y=0.103126525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410774230957031 × 216)
    floor (0.410774230957031 × 65536)
    floor (26920.5)     		tx = 26920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103126525878906 × 216)
    floor (0.103126525878906 × 65536)
    floor (6758.5)     		ty = 6758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26920 / 6758 ti = "16/26920/6758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26920/6758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26920 ÷ 216
    26920 ÷ 65536     		x = 0.4107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6758 ÷ 216
    6758 ÷ 65536     		y = 0.103118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56066998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103118896484375 × 2 - 1) × π
    0.79376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49367751823532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56066998} λ = -0.56066998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49367751823532))-π/2
    2×atan(12.105713342585)-π/2
    2×1.48837782933481-π/2
    2.97675565866963-1.57079632675     		φ = 1.40595933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56066998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.124024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40595933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.555536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26920 KachelY 6758 -0.56066998 1.40595933 -32.124024 80.555536
    Oben rechts KachelX + 1 26921 KachelY 6758 -0.56057410 1.40595933 -32.118530 80.555536
    Unten links KachelX 26920 KachelY + 1 6759 -0.56066998 1.40594360 -32.124024 80.554635
    Unten rechts KachelX + 1 26921 KachelY + 1 6759 -0.56057410 1.40594360 -32.118530 80.554635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40595933-1.40594360) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dl = 100.215829999239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40595933-1.40594360) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dr = 100.215829999239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56066998--0.56057410) × cos(1.40595933) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.164091539455603 × 6371000     		do = 100.235559731984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56066998--0.56057410) × cos(1.40594360) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.164107056216974 × 6371000     		du = 100.245038168632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40595933)-sin(1.40594360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164091539455603-0.164107056216974)×R²
    abs(-0.56057410--0.56066998)×1.55167613714868e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.55167613714868e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.55167613714868e-05×40589641000000     		ar = 10045.6647587379m²