Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26920 / 10552
↖ ↑ ↗
← N 53.800651°
E115.751953°		 ← 721.50 m → N 53.800651°
E115.762940°		 →
↑
721.58 m
↓
↑
721.58 m
↓
N 53.794162°
E115.751953°		 ← 721.61 m →
520 657 m²		 N 53.794162°
E115.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821548461914062 y=0.322036743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821548461914062 × 215)
    floor (0.821548461914062 × 32768)
    floor (26920.5)     		tx = 26920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322036743164062 × 215)
    floor (0.322036743164062 × 32768)
    floor (10552.5)     		ty = 10552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26920 / 10552 ti = "15/26920/10552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26920/10552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26920 ÷ 215
    26920 ÷ 32768     		x = 0.821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10552 ÷ 215
    10552 ÷ 32768     		y = 0.322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821533203125 × 2 - 1) × π
    0.64306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02025270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322021484375 × 2 - 1) × π
    0.35595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11827199433667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02025270} λ = 2.02025270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11827199433667))-π/2
    2×atan(3.05956269107068)-π/2
    2×1.25489741170565-π/2
    2.50979482341129-1.57079632675     		φ = 0.93899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02025270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.800651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26920 KachelY 10552 2.02025270 0.93899850 115.751953 53.800651
    Oben rechts KachelX + 1 26921 KachelY 10552 2.02044445 0.93899850 115.762940 53.800651
    Unten links KachelX 26920 KachelY + 1 10553 2.02025270 0.93888524 115.751953 53.794162
    Unten rechts KachelX + 1 26921 KachelY + 1 10553 2.02044445 0.93888524 115.762940 53.794162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93899850-0.93888524) × R
    0.000113260000000004 × 6371000     		dl = 721.579460000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93899850-0.93888524) × R
    0.000113260000000004 × 6371000     		dr = 721.579460000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02025270-2.02044445) × cos(0.93899850) × R
    0.000191749999999935 × 0.590596498554121 × 6371000     		do = 721.495863546038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02025270-2.02044445) × cos(0.93888524) × R
    0.000191749999999935 × 0.590687891850894 × 6371000     		du = 721.607513184562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93899850)-sin(0.93888524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590596498554121-0.590687891850894)×R²
    abs(2.02044445-2.02025270)×9.13932967724351e-05×R²
    0.000191749999999935×9.13932967724351e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.13932967724351e-05×40589641000000     		ar = 520656.878209213m²