Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26919 / 6763
↖ ↑ ↗
← N 80.551028°
W 32.129517°		 ← 100.27 m → N 80.551028°
W 32.124024°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
N 80.550126°
W 32.129517°		 ← 100.28 m →
10 056 m²		 N 80.550126°
W 32.124024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410758972167969 y=0.103202819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410758972167969 × 216)
    floor (0.410758972167969 × 65536)
    floor (26919.5)     		tx = 26919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103202819824219 × 216)
    floor (0.103202819824219 × 65536)
    floor (6763.5)     		ty = 6763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26919 / 6763 ti = "16/26919/6763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26919/6763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26919 ÷ 216
    26919 ÷ 65536     		x = 0.410751342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6763 ÷ 216
    6763 ÷ 65536     		y = 0.103195190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410751342773438 × 2 - 1) × π
    -0.178497314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56076585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103195190429688 × 2 - 1) × π
    0.793609619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49319814923912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56076585} λ = -0.56076585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49319814923912))-π/2
    2×atan(12.0999116296234)-π/2
    2×1.4883384898365-π/2
    2.97667697967299-1.57079632675     		φ = 1.40588065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56076585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.129517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40588065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.551028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26919 KachelY 6763 -0.56076585 1.40588065 -32.129517 80.551028
    Oben rechts KachelX + 1 26920 KachelY 6763 -0.56066998 1.40588065 -32.124024 80.551028
    Unten links KachelX 26919 KachelY + 1 6764 -0.56076585 1.40586491 -32.129517 80.550126
    Unten rechts KachelX + 1 26920 KachelY + 1 6764 -0.56066998 1.40586491 -32.124024 80.550126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40588065-1.40586491) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40588065-1.40586491) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56076585--0.56066998) × cos(1.40588065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164169152449334 × 6371000     		do = 100.272510527316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56076585--0.56066998) × cos(1.40586491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164184678871858 × 6371000     		du = 100.281993876306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40588065)-sin(1.40586491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164169152449334-0.164184678871858)×R²
    abs(-0.56066998--0.56076585)×1.55264225245311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55264225245311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55264225245311e-05×40589641000000     		ar = 10055.7567232094m²