Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26917 / 5468
↖ ↑ ↗
← N 81.650118°
W 32.140503°		 ← 88.70 m → N 81.650118°
W 32.135010°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 81.649320°
W 32.140503°		 ← 88.71 m →
7 872 m²		 N 81.649320°
W 32.135010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410728454589844 y=0.0834426879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410728454589844 × 216)
    floor (0.410728454589844 × 65536)
    floor (26917.5)     		tx = 26917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0834426879882812 × 216)
    floor (0.0834426879882812 × 65536)
    floor (5468.5)     		ty = 5468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26917 / 5468 ti = "16/26917/5468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26917/5468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26917 ÷ 216
    26917 ÷ 65536     		x = 0.410720825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5468 ÷ 216
    5468 ÷ 65536     		y = 0.08343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410720825195312 × 2 - 1) × π
    -0.178558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56095760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08343505859375 × 2 - 1) × π
    0.8331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61735471925507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56095760} λ = -0.56095760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61735471925507))-π/2
    2×atan(13.6994367555461)-π/2
    2×1.49792986152036-π/2
    2.99585972304072-1.57079632675     		φ = 1.42506340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56095760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.140503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42506340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.650118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26917 KachelY 5468 -0.56095760 1.42506340 -32.140503 81.650118
    Oben rechts KachelX + 1 26918 KachelY 5468 -0.56086173 1.42506340 -32.135010 81.650118
    Unten links KachelX 26917 KachelY + 1 5469 -0.56095760 1.42504947 -32.140503 81.649320
    Unten rechts KachelX + 1 26918 KachelY + 1 5469 -0.56086173 1.42504947 -32.135010 81.649320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42506340-1.42504947) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42506340-1.42504947) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56095760--0.56086173) × cos(1.42506340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145217626228376 × 6371000     		do = 88.6971500887216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56095760--0.56086173) × cos(1.42504947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145231408552633 × 6371000     		du = 88.7055681638198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42506340)-sin(1.42504947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145217626228376-0.145231408552633)×R²
    abs(-0.56086173--0.56095760)×1.37823242568058e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37823242568058e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37823242568058e-05×40589641000000     		ar = 7872.07088086478m²