Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26912 / 5472
↖ ↑ ↗
← N 81.646927°
W 32.167969°		 ← 88.74 m → N 81.646927°
W 32.162475°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 81.646129°
W 32.167969°		 ← 88.75 m →
7 876 m²		 N 81.646129°
W 32.162475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410652160644531 y=0.0835037231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410652160644531 × 216)
    floor (0.410652160644531 × 65536)
    floor (26912.5)     		tx = 26912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835037231445312 × 216)
    floor (0.0835037231445312 × 65536)
    floor (5472.5)     		ty = 5472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26912 / 5472 ti = "16/26912/5472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26912/5472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26912 ÷ 216
    26912 ÷ 65536     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5472 ÷ 216
    5472 ÷ 65536     		y = 0.08349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08349609375 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61697122405811))-π/2
    2×atan(13.6941840945988)-π/2
    2×1.49790201110527-π/2
    2.99580402221054-1.57079632675     		φ = 1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26912 KachelY 5472 -0.56143697 1.42500770 -32.167969 81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 26913 KachelY 5472 -0.56134109 1.42500770 -32.162475 81.646927
    Unten links KachelX 26912 KachelY + 1 5473 -0.56143697 1.42499377 -32.167969 81.646129
    Unten rechts KachelX + 1 26913 KachelY + 1 5473 -0.56134109 1.42499377 -32.162475 81.646129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42500770-1.42499377) × R
    1.39300000001619e-05 × 6371000     		dl = 88.7480300010313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42500770-1.42499377) × R
    1.39300000001619e-05 × 6371000     		dr = 88.7480300010313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.56134109) × cos(1.42500770) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 88.7400655256941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.56134109) × cos(1.42499377) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.145286517780027 × 6371000     		du = 88.7484844100206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42500770)-sin(1.42499377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145286517780027)×R²
    abs(-0.56134109--0.56143697)×1.37822115557906e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.37822115557906e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.37822115557906e-05×40589641000000     		ar = 7875.87957744646m²