Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26908 / 10451
↖ ↑ ↗
← N 54.450880°
E115.620117°		 ← 710.22 m → N 54.450880°
E115.631103°		 →
↑
710.30 m
↓
↑
710.30 m
↓
N 54.444492°
E115.620117°		 ← 710.34 m →
504 514 m²		 N 54.444492°
E115.631103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821182250976562 y=0.318954467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821182250976562 × 215)
    floor (0.821182250976562 × 32768)
    floor (26908.5)     		tx = 26908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318954467773438 × 215)
    floor (0.318954467773438 × 32768)
    floor (10451.5)     		ty = 10451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26908 / 10451 ti = "15/26908/10451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26908/10451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26908 ÷ 215
    26908 ÷ 32768     		x = 0.8211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10451 ÷ 215
    10451 ÷ 32768     		y = 0.318939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8211669921875 × 2 - 1) × π
    0.642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01795173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318939208984375 × 2 - 1) × π
    0.36212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13763850178317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01795173} λ = 2.01795173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13763850178317))-π/2
    2×atan(3.11939321889215)-π/2
    2×1.26057172925216-π/2
    2.52114345850433-1.57079632675     		φ = 0.95034713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01795173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95034713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.450880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26908 KachelY 10451 2.01795173 0.95034713 115.620117 54.450880
    Oben rechts KachelX + 1 26909 KachelY 10451 2.01814347 0.95034713 115.631103 54.450880
    Unten links KachelX 26908 KachelY + 1 10452 2.01795173 0.95023564 115.620117 54.444492
    Unten rechts KachelX + 1 26909 KachelY + 1 10452 2.01814347 0.95023564 115.631103 54.444492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95034713-0.95023564) × R
    0.000111489999999992 × 6371000     		dl = 710.302789999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95034713-0.95023564) × R
    0.000111489999999992 × 6371000     		dr = 710.302789999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01795173-2.01814347) × cos(0.95034713) × R
    0.000191739999999996 × 0.581400693499193 × 6371000     		do = 710.224866117635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01795173-2.01814347) × cos(0.95023564) × R
    0.000191739999999996 × 0.58149140008678 × 6371000     		du = 710.335671066349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95034713)-sin(0.95023564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581400693499193-0.58149140008678)×R²
    abs(2.01814347-2.01795173)×9.07065875874746e-05×R²
    0.000191739999999996×9.07065875874746e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.07065875874746e-05×40589641000000     		ar = 504514.056985528m²