Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26905 / 5401
↖ ↑ ↗
← N 81.703395°
W 32.206421°		 ← 88.14 m → N 81.703395°
W 32.200928°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
N 81.702602°
W 32.206421°		 ← 88.14 m →
7 766 m²		 N 81.702602°
W 32.200928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410545349121094 y=0.0824203491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410545349121094 × 216)
    floor (0.410545349121094 × 65536)
    floor (26905.5)     		tx = 26905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824203491210938 × 216)
    floor (0.0824203491210938 × 65536)
    floor (5401.5)     		ty = 5401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26905 / 5401 ti = "16/26905/5401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26905/5401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26905 ÷ 216
    26905 ÷ 65536     		x = 0.410537719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5401 ÷ 216
    5401 ÷ 65536     		y = 0.0824127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410537719726562 × 2 - 1) × π
    -0.178924560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56210808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0824127197265625 × 2 - 1) × π
    0.835174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62377826380415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56210808} λ = -0.56210808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62377826380415))-π/2
    2×atan(13.7877189365465)-π/2
    2×1.49839478843509-π/2
    2.99678957687018-1.57079632675     		φ = 1.42599325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56210808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.206421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42599325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.703395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26905 KachelY 5401 -0.56210808 1.42599325 -32.206421 81.703395
    Oben rechts KachelX + 1 26906 KachelY 5401 -0.56201221 1.42599325 -32.200928 81.703395
    Unten links KachelX 26905 KachelY + 1 5402 -0.56210808 1.42597942 -32.206421 81.702602
    Unten rechts KachelX + 1 26906 KachelY + 1 5402 -0.56201221 1.42597942 -32.200928 81.702602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42599325-1.42597942) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dl = 88.1109300006593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42599325-1.42597942) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dr = 88.1109300006593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56210808--0.56201221) × cos(1.42599325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144297570235715 × 6371000     		do = 88.1351911406887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56210808--0.56201221) × cos(1.42597942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144311255481845 × 6371000     		du = 88.1435499216545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42599325)-sin(1.42597942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144297570235715-0.144311255481845)×R²
    abs(-0.56201221--0.56210808)×1.36852461303238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36852461303238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36852461303238e-05×40589641000000     		ar = 7766.04190737042m²