Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26905 / 42987
↖ ↑ ↗
← S 48.846644°
W 32.206421°		 ← 401.95 m → S 48.846644°
W 32.200928°		 →
↑
401.95 m
↓
↑
401.95 m
↓
S 48.850258°
W 32.206421°		 ← 401.92 m →
161 555 m²		 S 48.850258°
W 32.200928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410545349121094 y=0.655937194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410545349121094 × 216)
    floor (0.410545349121094 × 65536)
    floor (26905.5)     		tx = 26905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655937194824219 × 216)
    floor (0.655937194824219 × 65536)
    floor (42987.5)     		ty = 42987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26905 / 42987 ti = "16/26905/42987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26905/42987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26905 ÷ 216
    26905 ÷ 65536     		x = 0.410537719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42987 ÷ 216
    42987 ÷ 65536     		y = 0.655929565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410537719726562 × 2 - 1) × π
    -0.178924560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56210808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.311859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.979734354434708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56210808} λ = -0.56210808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979734354434708))-π/2
    2×atan(0.375410811823983)-π/2
    2×0.35913078540823-π/2
    0.718261570816459-1.57079632675     		φ = -0.85253476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56210808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.206421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85253476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.846644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26905 KachelY 42987 -0.56210808 -0.85253476 -32.206421 -48.846644
    Oben rechts KachelX + 1 26906 KachelY 42987 -0.56201221 -0.85253476 -32.200928 -48.846644
    Unten links KachelX 26905 KachelY + 1 42988 -0.56210808 -0.85259785 -32.206421 -48.850258
    Unten rechts KachelX + 1 26906 KachelY + 1 42988 -0.56201221 -0.85259785 -32.200928 -48.850258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85253476--0.85259785) × R
    6.30900000000434e-05 × 6371000     		dl = 401.946390000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85253476--0.85259785) × R
    6.30900000000434e-05 × 6371000     		dr = 401.946390000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56210808--0.56201221) × cos(-0.85253476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		do = 401.945207537842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56210808--0.56201221) × cos(-0.85259785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658029207225783 × 6371000     		du = 401.916192076295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85253476)-sin(-0.85259785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658076712207009-0.658029207225783)×R²
    abs(-0.56201221--0.56210808)×4.75049812261874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75049812261874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75049812261874e-05×40589641000000     		ar = 161554.593871273m²