Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26905 / 10473
↖ ↑ ↗
← N 54.310114°
E115.587158°		 ← 712.70 m → N 54.310114°
E115.598144°		 →
↑
712.72 m
↓
↑
712.72 m
↓
N 54.303705°
E115.587158°		 ← 712.81 m →
507 999 m²		 N 54.303705°
E115.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821090698242188 y=0.319625854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821090698242188 × 215)
    floor (0.821090698242188 × 32768)
    floor (26905.5)     		tx = 26905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319625854492188 × 215)
    floor (0.319625854492188 × 32768)
    floor (10473.5)     		ty = 10473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26905 / 10473 ti = "15/26905/10473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26905/10473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26905 ÷ 215
    26905 ÷ 32768     		x = 0.821075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10473 ÷ 215
    10473 ÷ 32768     		y = 0.319610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821075439453125 × 2 - 1) × π
    0.64215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01737648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319610595703125 × 2 - 1) × π
    0.36077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13342005461661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01737648} λ = 2.01737648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13342005461661))-π/2
    2×atan(3.10626193968321)-π/2
    2×1.25934331956448-π/2
    2.51868663912895-1.57079632675     		φ = 0.94789031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01737648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.587158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94789031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.310114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26905 KachelY 10473 2.01737648 0.94789031 115.587158 54.310114
    Oben rechts KachelX + 1 26906 KachelY 10473 2.01756823 0.94789031 115.598144 54.310114
    Unten links KachelX 26905 KachelY + 1 10474 2.01737648 0.94777844 115.587158 54.303705
    Unten rechts KachelX + 1 26906 KachelY + 1 10474 2.01756823 0.94777844 115.598144 54.303705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94789031-0.94777844) × R
    0.000111870000000014 × 6371000     		dl = 712.723770000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94789031-0.94777844) × R
    0.000111870000000014 × 6371000     		dr = 712.723770000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01737648-2.01756823) × cos(0.94789031) × R
    0.000191750000000379 × 0.583397848272506 × 6371000     		do = 712.701709816647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01737648-2.01756823) × cos(0.94777844) × R
    0.000191750000000379 × 0.583488703928234 × 6371000     		du = 712.812702651769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94789031)-sin(0.94777844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583397848272506-0.583488703928234)×R²
    abs(2.01756823-2.01737648)×9.08556557278617e-05×R²
    0.000191750000000379×9.08556557278617e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.08556557278617e-05×40589641000000     		ar = 507999.003651454m²