Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26904 / 6942
↖ ↑ ↗
← N 80.388230°
W 32.211914°		 ← 101.99 m → N 80.388230°
W 32.206421°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 80.387313°
W 32.211914°		 ← 102 m →
10 404 m²		 N 80.387313°
W 32.206421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410530090332031 y=0.105934143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410530090332031 × 216)
    floor (0.410530090332031 × 65536)
    floor (26904.5)     		tx = 26904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105934143066406 × 216)
    floor (0.105934143066406 × 65536)
    floor (6942.5)     		ty = 6942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26904 / 6942 ti = "16/26904/6942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26904/6942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26904 ÷ 216
    26904 ÷ 65536     		x = 0.4105224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6942 ÷ 216
    6942 ÷ 65536     		y = 0.105926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.178955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56220396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105926513671875 × 2 - 1) × π
    0.78814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47603673917514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56220396} λ = -0.56220396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47603673917514))-π/2
    2×atan(11.8940317319348)-π/2
    2×1.48691781359648-π/2
    2.97383562719296-1.57079632675     		φ = 1.40303930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56220396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.211914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40303930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.388230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26904 KachelY 6942 -0.56220396 1.40303930 -32.211914 80.388230
    Oben rechts KachelX + 1 26905 KachelY 6942 -0.56210808 1.40303930 -32.206421 80.388230
    Unten links KachelX 26904 KachelY + 1 6943 -0.56220396 1.40302329 -32.211914 80.387313
    Unten rechts KachelX + 1 26905 KachelY + 1 6943 -0.56210808 1.40302329 -32.206421 80.387313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40303930-1.40302329) × R
    1.60100000001773e-05 × 6371000     		dl = 101.999710001129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40303930-1.40302329) × R
    1.60100000001773e-05 × 6371000     		dr = 101.999710001129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56220396--0.56210808) × cos(1.40303930) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166971285125057 × 6371000     		do = 101.994656636076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56220396--0.56210808) × cos(1.40302329) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166987070351417 × 6371000     		du = 102.00429906496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40303930)-sin(1.40302329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166971285125057-0.166987070351417)×R²
    abs(-0.56210808--0.56220396)×1.57852263598934e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57852263598934e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57852263598934e-05×40589641000000     		ar = 10403.917161012m²