Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26903 / 6936
↖ ↑ ↗
← N 80.393732°
W 32.217407°		 ← 101.93 m → N 80.393732°
W 32.211914°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 80.392815°
W 32.217407°		 ← 101.94 m →
10 390 m²		 N 80.392815°
W 32.211914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410514831542969 y=0.105842590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410514831542969 × 216)
    floor (0.410514831542969 × 65536)
    floor (26903.5)     		tx = 26903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105842590332031 × 216)
    floor (0.105842590332031 × 65536)
    floor (6936.5)     		ty = 6936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26903 / 6936 ti = "16/26903/6936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26903/6936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26903 ÷ 216
    26903 ÷ 65536     		x = 0.410507202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6936 ÷ 216
    6936 ÷ 65536     		y = 0.1058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410507202148438 × 2 - 1) × π
    -0.178985595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56229983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1058349609375 × 2 - 1) × π
    0.788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47661198197058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56229983} λ = -0.56229983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47661198197058))-π/2
    2×atan(11.9008756562677)-π/2
    2×1.48696582449431-π/2
    2.97393164898861-1.57079632675     		φ = 1.40313532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56229983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.217407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40313532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.393732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26903 KachelY 6936 -0.56229983 1.40313532 -32.217407 80.393732
    Oben rechts KachelX + 1 26904 KachelY 6936 -0.56220396 1.40313532 -32.211914 80.393732
    Unten links KachelX 26903 KachelY + 1 6937 -0.56229983 1.40311932 -32.217407 80.392815
    Unten rechts KachelX + 1 26904 KachelY + 1 6937 -0.56220396 1.40311932 -32.211914 80.392815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40313532-1.40311932) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40313532-1.40311932) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56229983--0.56220396) × cos(1.40313532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166876612307392 × 6371000     		do = 101.926193896384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56229983--0.56220396) × cos(1.40311932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166892387930622 × 6371000     		du = 101.935829454117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40313532)-sin(1.40311932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166876612307392-0.166892387930622)×R²
    abs(-0.56220396--0.56229983)×1.57756232295747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57756232295747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57756232295747e-05×40589641000000     		ar = 10390.439606303m²