Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26902 / 6937
↖ ↑ ↗
← N 80.392815°
W 32.222901°		 ← 101.95 m → N 80.392815°
W 32.217407°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 80.391898°
W 32.222901°		 ← 101.96 m →
10 393 m²		 N 80.391898°
W 32.217407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410499572753906 y=0.105857849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410499572753906 × 216)
    floor (0.410499572753906 × 65536)
    floor (26902.5)     		tx = 26902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105857849121094 × 216)
    floor (0.105857849121094 × 65536)
    floor (6937.5)     		ty = 6937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26902 / 6937 ti = "16/26902/6937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26902/6937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26902 ÷ 216
    26902 ÷ 65536     		x = 0.410491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6937 ÷ 216
    6937 ÷ 65536     		y = 0.105850219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.17901611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56239571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105850219726562 × 2 - 1) × π
    0.788299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47651610817134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56239571} λ = -0.56239571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47651610817134))-π/2
    2×atan(11.8997347287976)-π/2
    2×1.48695782456889-π/2
    2.97391564913778-1.57079632675     		φ = 1.40311932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56239571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.222901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40311932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.392815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26902 KachelY 6937 -0.56239571 1.40311932 -32.222901 80.392815
    Oben rechts KachelX + 1 26903 KachelY 6937 -0.56229983 1.40311932 -32.217407 80.392815
    Unten links KachelX 26902 KachelY + 1 6938 -0.56239571 1.40310332 -32.222901 80.391898
    Unten rechts KachelX + 1 26903 KachelY + 1 6938 -0.56229983 1.40310332 -32.217407 80.391898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40311932-1.40310332) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40311932-1.40310332) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56239571--0.56229983) × cos(1.40311932) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166892387930622 × 6371000     		do = 101.946462168206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56239571--0.56229983) × cos(1.40310332) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166908163511127 × 6371000     		du = 101.956098704905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40311932)-sin(1.40310332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166892387930622-0.166908163511127)×R²
    abs(-0.56229983--0.56239571)×1.57755805051119e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.57755805051119e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.57755805051119e-05×40589641000000     		ar = 10392.5057228287m²