Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26901 / 6941
↖ ↑ ↗
← N 80.389148°
W 32.228394°		 ← 101.97 m → N 80.389148°
W 32.222901°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 80.388230°
W 32.228394°		 ← 101.98 m →
10 402 m²		 N 80.388230°
W 32.222901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410484313964844 y=0.105918884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410484313964844 × 216)
    floor (0.410484313964844 × 65536)
    floor (26901.5)     		tx = 26901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105918884277344 × 216)
    floor (0.105918884277344 × 65536)
    floor (6941.5)     		ty = 6941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26901 / 6941 ti = "16/26901/6941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26901/6941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26901 ÷ 216
    26901 ÷ 65536     		x = 0.410476684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6941 ÷ 216
    6941 ÷ 65536     		y = 0.105911254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410476684570312 × 2 - 1) × π
    -0.179046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56249158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105911254882812 × 2 - 1) × π
    0.788177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47613261297438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56249158} λ = -0.56249158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47613261297438))-π/2
    2×atan(11.8951721126106)-π/2
    2×1.4869258173039-π/2
    2.97385163460781-1.57079632675     		φ = 1.40305531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56249158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.228394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40305531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.389148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26901 KachelY 6941 -0.56249158 1.40305531 -32.228394 80.389148
    Oben rechts KachelX + 1 26902 KachelY 6941 -0.56239571 1.40305531 -32.222901 80.389148
    Unten links KachelX 26901 KachelY + 1 6942 -0.56249158 1.40303930 -32.228394 80.388230
    Unten rechts KachelX + 1 26902 KachelY + 1 6942 -0.56239571 1.40303930 -32.222901 80.388230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40305531-1.40303930) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40305531-1.40303930) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56249158--0.56239571) × cos(1.40305531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166955499855899 × 6371000     		do = 101.974377446218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56249158--0.56239571) × cos(1.40303930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166971285125057 × 6371000     		du = 101.984018895566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40305531)-sin(1.40303930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166955499855899-0.166971285125057)×R²
    abs(-0.56239571--0.56249158)×1.5785269157742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5785269157742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5785269157742e-05×40589641000000     		ar = 10401.8486398988m²