Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26901 / 10462
↖ ↑ ↗
← N 54.380558°
E115.543213°		 ← 711.48 m → N 54.380558°
E115.554199°		 →
↑
711.58 m
↓
↑
711.58 m
↓
N 54.374158°
E115.543213°		 ← 711.59 m →
506 313 m²		 N 54.374158°
E115.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820968627929688 y=0.319290161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820968627929688 × 215)
    floor (0.820968627929688 × 32768)
    floor (26901.5)     		tx = 26901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319290161132812 × 215)
    floor (0.319290161132812 × 32768)
    floor (10462.5)     		ty = 10462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26901 / 10462 ti = "15/26901/10462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26901/10462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26901 ÷ 215
    26901 ÷ 32768     		x = 0.820953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10462 ÷ 215
    10462 ÷ 32768     		y = 0.31927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820953369140625 × 2 - 1) × π
    0.64190673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01660949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31927490234375 × 2 - 1) × π
    0.3614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13552927819989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01660949} λ = 2.01660949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13552927819989))-π/2
    2×atan(3.1128206550893)-π/2
    2×1.25995805096413-π/2
    2.51991610192826-1.57079632675     		φ = 0.94911978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01660949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94911978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.380558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26901 KachelY 10462 2.01660949 0.94911978 115.543213 54.380558
    Oben rechts KachelX + 1 26902 KachelY 10462 2.01680124 0.94911978 115.554199 54.380558
    Unten links KachelX 26901 KachelY + 1 10463 2.01660949 0.94900809 115.543213 54.374158
    Unten rechts KachelX + 1 26902 KachelY + 1 10463 2.01680124 0.94900809 115.554199 54.374158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94911978-0.94900809) × R
    0.000111689999999998 × 6371000     		dl = 711.576989999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94911978-0.94900809) × R
    0.000111689999999998 × 6371000     		dr = 711.576989999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01660949-2.01680124) × cos(0.94911978) × R
    0.000191749999999935 × 0.582398848626748 × 6371000     		do = 711.481292637002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01660949-2.01680124) × cos(0.94900809) × R
    0.000191749999999935 × 0.582489638150194 × 6371000     		du = 711.592204682333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94911978)-sin(0.94900809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582398848626748-0.582489638150194)×R²
    abs(2.01680124-2.01660949)×9.07895234458778e-05×R²
    0.000191749999999935×9.07895234458778e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.07895234458778e-05×40589641000000     		ar = 506313.178412419m²