Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26900 / 10453
↖ ↑ ↗
← N 54.438103°
E115.532227°		 ← 710.45 m → N 54.438103°
E115.543213°		 →
↑
710.49 m
↓
↑
710.49 m
↓
N 54.431713°
E115.532227°		 ← 710.56 m →
504 807 m²		 N 54.431713°
E115.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820938110351562 y=0.319015502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820938110351562 × 215)
    floor (0.820938110351562 × 32768)
    floor (26900.5)     		tx = 26900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319015502929688 × 215)
    floor (0.319015502929688 × 32768)
    floor (10453.5)     		ty = 10453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26900 / 10453 ti = "15/26900/10453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26900/10453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26900 ÷ 215
    26900 ÷ 32768     		x = 0.8209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10453 ÷ 215
    10453 ÷ 32768     		y = 0.319000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8209228515625 × 2 - 1) × π
    0.641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01641775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319000244140625 × 2 - 1) × π
    0.36199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13725500658621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01641775} λ = 2.01641775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13725500658621))-π/2
    2×atan(3.11819717592829)-π/2
    2×1.26046022967257-π/2
    2.52092045934513-1.57079632675     		φ = 0.95012413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01641775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95012413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.438103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26900 KachelY 10453 2.01641775 0.95012413 115.532227 54.438103
    Oben rechts KachelX + 1 26901 KachelY 10453 2.01660949 0.95012413 115.543213 54.438103
    Unten links KachelX 26900 KachelY + 1 10454 2.01641775 0.95001261 115.532227 54.431713
    Unten rechts KachelX + 1 26901 KachelY + 1 10454 2.01660949 0.95001261 115.543213 54.431713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95012413-0.95001261) × R
    0.000111519999999921 × 6371000     		dl = 710.493919999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95012413-0.95001261) × R
    0.000111519999999921 × 6371000     		dr = 710.493919999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01641775-2.01660949) × cos(0.95012413) × R
    0.000191739999999996 × 0.581582115716172 × 6371000     		do = 710.44648706031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01641775-2.01660949) × cos(0.95001261) × R
    0.000191739999999996 × 0.581672832248121 × 6371000     		du = 710.557304156812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95012413)-sin(0.95001261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581582115716172-0.581672832248121)×R²
    abs(2.01660949-2.01641775)×9.071653194892e-05×R²
    0.000191739999999996×9.071653194892e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.071653194892e-05×40589641000000     		ar = 504807.277501052m²