Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2690 / 3703
↖ ↑ ↗
← N 69.725722°
W120.893554°		 ← 846.61 m → N 69.725722°
W120.871582°		 →
↑
846.77 m
↓
↑
846.77 m
↓
N 69.718107°
W120.893554°		 ← 846.91 m →
717 012 m²		 N 69.718107°
W120.871582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164215087890625 y=0.226043701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164215087890625 × 214)
    floor (0.164215087890625 × 16384)
    floor (2690.5)     		tx = 2690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226043701171875 × 214)
    floor (0.226043701171875 × 16384)
    floor (3703.5)     		ty = 3703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2690 / 3703 ti = "14/2690/3703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2690/3703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2690 ÷ 214
    2690 ÷ 16384     		x = 0.1641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3703 ÷ 214
    3703 ÷ 16384     		y = 0.22601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10999057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22601318359375 × 2 - 1) × π
    0.5479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72150993915546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10999057} λ = -2.10999057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72150993915546))-π/2
    2×atan(5.592967131803)-π/2
    2×1.39386987375519-π/2
    2.78773974751038-1.57079632675     		φ = 1.21694342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10999057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.893554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21694342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.725722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2690 KachelY 3703 -2.10999057 1.21694342 -120.893554 69.725722
    Oben rechts KachelX + 1 2691 KachelY 3703 -2.10960708 1.21694342 -120.871582 69.725722
    Unten links KachelX 2690 KachelY + 1 3704 -2.10999057 1.21681051 -120.893554 69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 2691 KachelY + 1 3704 -2.10960708 1.21681051 -120.871582 69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21694342-1.21681051) × R
    0.000132910000000042 × 6371000     		dl = 846.769610000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21694342-1.21681051) × R
    0.000132910000000042 × 6371000     		dr = 846.769610000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10999057--2.10960708) × cos(1.21694342) × R
    0.000383489999999931 × 0.346514568871904 × 6371000     		do = 846.609519618157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10999057--2.10960708) × cos(1.21681051) × R
    0.000383489999999931 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 846.914121181006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21694342)-sin(1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346514568871904-0.346639241317444)×R²
    abs(-2.10960708--2.10999057)×0.000124672445539986×R²
    0.000383489999999931×0.000124672445539986×6371000²
    0.000383489999999931×0.000124672445539986×40589641000000     		ar = 717012.177479546m²