Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 269 / 126
↖ ↑ ↗
← N 82.720964°
W132.714844°		 ← 2 476.51 m → N 82.720964°
W132.539063°		 →
↑
2 480.29 m
↓
↑
2 480.29 m
↓
N 82.698659°
W132.714844°		 ← 2 484.06 m →
6 151 827 m²		 N 82.698659°
W132.539063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131591796875 y=0.061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131591796875 × 211)
    floor (0.131591796875 × 2048)
    floor (269.5)     		tx = 269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.061767578125 × 211)
    floor (0.061767578125 × 2048)
    floor (126.5)     		ty = 126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 269 / 126 ti = "11/269/126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/269/126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 269 ÷ 211
    269 ÷ 2048     		x = 0.13134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 126 ÷ 211
    126 ÷ 2048     		y = 0.0615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    -0.7373046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31631099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0615234375 × 2 - 1) × π
    0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31631099} λ = -2.31631099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75502949496387))-π/2
    2×atan(15.7215046011753)-π/2
    2×1.50727475765697-π/2
    3.01454951531393-1.57079632675     		φ = 1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31631099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 269 KachelY 126 -2.31631099 1.44375319 -132.714844 82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 270 KachelY 126 -2.31324303 1.44375319 -132.539063 82.720964
    Unten links KachelX 269 KachelY + 1 127 -2.31631099 1.44336388 -132.714844 82.698659
    Unten rechts KachelX + 1 270 KachelY + 1 127 -2.31324303 1.44336388 -132.539063 82.698659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44375319-1.44336388) × R
    0.000389310000000087 × 6371000     		dl = 2480.29401000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44375319-1.44336388) × R
    0.000389310000000087 × 6371000     		dr = 2480.29401000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31631099--2.31324303) × cos(1.44375319) × R
    0.00306795999999965 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 2476.50738866703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31631099--2.31324303) × cos(1.44336388) × R
    0.00306795999999965 × 0.127087830203396 × 6371000     		du = 2484.05531811793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44375319)-sin(1.44336388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.127087830203396)×R²
    abs(-2.31324303--2.31631099)×0.000386162888340952×R²
    0.00306795999999965×0.000386162888340952×6371000²
    0.00306795999999965×0.000386162888340952×40589641000000     		ar = 6151827.06162327m²