Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 269 / 123
↖ ↑ ↗
← N 82.787476°
W132.714844°		 ← 2 454 m → N 82.787476°
W132.539063°		 →
↑
2 457.74 m
↓
↑
2 457.74 m
↓
N 82.765373°
W132.714844°		 ← 2 461.48 m →
6 040 485 m²		 N 82.765373°
W132.539063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131591796875 y=0.060302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131591796875 × 211)
    floor (0.131591796875 × 2048)
    floor (269.5)     		tx = 269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.060302734375 × 211)
    floor (0.060302734375 × 2048)
    floor (123.5)     		ty = 123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 269 / 123 ti = "11/269/123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/269/123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 269 ÷ 211
    269 ÷ 2048     		x = 0.13134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123 ÷ 211
    123 ÷ 2048     		y = 0.06005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    -0.7373046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31631099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06005859375 × 2 - 1) × π
    0.8798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.76423337969092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31631099} λ = -2.31631099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76423337969092))-π/2
    2×atan(15.8668714609852)-π/2
    2×1.50785517773791-π/2
    3.01571035547582-1.57079632675     		φ = 1.44491403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31631099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44491403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.787476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 269 KachelY 123 -2.31631099 1.44491403 -132.714844 82.787476
    Oben rechts KachelX + 1 270 KachelY 123 -2.31324303 1.44491403 -132.539063 82.787476
    Unten links KachelX 269 KachelY + 1 124 -2.31631099 1.44452826 -132.714844 82.765373
    Unten rechts KachelX + 1 270 KachelY + 1 124 -2.31324303 1.44452826 -132.539063 82.765373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44491403-1.44452826) × R
    0.000385770000000063 × 6371000     		dl = 2457.7406700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44491403-1.44452826) × R
    0.000385770000000063 × 6371000     		dr = 2457.7406700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31631099--2.31324303) × cos(1.44491403) × R
    0.00306795999999965 × 0.125550097566978 × 6371000     		do = 2453.99883727926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31631099--2.31324303) × cos(1.44452826) × R
    0.00306795999999965 × 0.125932805725766 × 6371000     		du = 2461.47924067903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44491403)-sin(1.44452826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125550097566978-0.125932805725766)×R²
    abs(-2.31324303--2.31631099)×0.000382708158787298×R²
    0.00306795999999965×0.000382708158787298×6371000²
    0.00306795999999965×0.000382708158787298×40589641000000     		ar = 6040485.26725585m²