Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26899 / 6927
↖ ↑ ↗
← N 80.401979°
W 32.239380°		 ← 101.85 m → N 80.401979°
W 32.233886°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 80.401063°
W 32.239380°		 ← 101.86 m →
10 370 m²		 N 80.401063°
W 32.233886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410453796386719 y=0.105705261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410453796386719 × 216)
    floor (0.410453796386719 × 65536)
    floor (26899.5)     		tx = 26899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105705261230469 × 216)
    floor (0.105705261230469 × 65536)
    floor (6927.5)     		ty = 6927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26899 / 6927 ti = "16/26899/6927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26899/6927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26899 ÷ 216
    26899 ÷ 65536     		x = 0.410446166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6927 ÷ 216
    6927 ÷ 65536     		y = 0.105697631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410446166992188 × 2 - 1) × π
    -0.179107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56268333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105697631835938 × 2 - 1) × π
    0.788604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47747484616374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56268333} λ = -0.56268333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47747484616374))-π/2
    2×atan(11.9111489273202)-π/2
    2×1.48703778980272-π/2
    2.97407557960544-1.57079632675     		φ = 1.40327925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56268333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.239380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40327925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.401979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26899 KachelY 6927 -0.56268333 1.40327925 -32.239380 80.401979
    Oben rechts KachelX + 1 26900 KachelY 6927 -0.56258745 1.40327925 -32.233886 80.401979
    Unten links KachelX 26899 KachelY + 1 6928 -0.56268333 1.40326327 -32.239380 80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 26900 KachelY + 1 6928 -0.56258745 1.40326327 -32.233886 80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40327925-1.40326327) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40327925-1.40326327) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56268333--0.56258745) × cos(1.40327925) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166734698796518 × 6371000     		do = 101.850137527259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56268333--0.56258745) × cos(1.40326327) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 101.859762278735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40327925)-sin(1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166734698796518-0.166750455083917)×R²
    abs(-0.56258745--0.56268333)×1.5756287398444e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.5756287398444e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.5756287398444e-05×40589641000000     		ar = 10369.707815726m²