Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26899 / 10659
↖ ↑ ↗
← N 53.100621°
E115.521240°		 ← 733.49 m → N 53.100621°
E115.532227°		 →
↑
733.56 m
↓
↑
733.56 m
↓
N 53.094024°
E115.521240°		 ← 733.60 m →
538 095 m²		 N 53.094024°
E115.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820907592773438 y=0.325302124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820907592773438 × 215)
    floor (0.820907592773438 × 32768)
    floor (26899.5)     		tx = 26899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325302124023438 × 215)
    floor (0.325302124023438 × 32768)
    floor (10659.5)     		ty = 10659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26899 / 10659 ti = "15/26899/10659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26899/10659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26899 ÷ 215
    26899 ÷ 32768     		x = 0.820892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10659 ÷ 215
    10659 ÷ 32768     		y = 0.325286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820892333984375 × 2 - 1) × π
    0.64178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01622600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325286865234375 × 2 - 1) × π
    0.34942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09775500129929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01622600} λ = 2.01622600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09775500129929))-π/2
    2×atan(2.99742923999102)-π/2
    2×1.2487884979858-π/2
    2.49757699597159-1.57079632675     		φ = 0.92678067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01622600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92678067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.100621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26899 KachelY 10659 2.01622600 0.92678067 115.521240 53.100621
    Oben rechts KachelX + 1 26900 KachelY 10659 2.01641775 0.92678067 115.532227 53.100621
    Unten links KachelX 26899 KachelY + 1 10660 2.01622600 0.92666553 115.521240 53.094024
    Unten rechts KachelX + 1 26900 KachelY + 1 10660 2.01641775 0.92666553 115.532227 53.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92678067-0.92666553) × R
    0.000115140000000014 × 6371000     		dl = 733.556940000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92678067-0.92666553) × R
    0.000115140000000014 × 6371000     		dr = 733.556940000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01622600-2.01641775) × cos(0.92678067) × R
    0.000191749999999935 × 0.600411558955234 × 6371000     		do = 733.486326573154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01622600-2.01641775) × cos(0.92666553) × R
    0.000191749999999935 × 0.60050363141591 × 6371000     		du = 733.59880590496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92678067)-sin(0.92666553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600411558955234-0.60050363141591)×R²
    abs(2.01641775-2.01622600)×9.2072460676329e-05×R²
    0.000191749999999935×9.2072460676329e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.2072460676329e-05×40589641000000     		ar = 538095.240845144m²