Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26896 / 10000
↖ ↑ ↗
← N 57.231503°
E115.488282°		 ← 661.17 m → N 57.231503°
E115.499267°		 →
↑
661.25 m
↓
↑
661.25 m
↓
N 57.225556°
E115.488282°		 ← 661.28 m →
437 233 m²		 N 57.225556°
E115.499267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820816040039062 y=0.305191040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820816040039062 × 215)
    floor (0.820816040039062 × 32768)
    floor (26896.5)     		tx = 26896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305191040039062 × 215)
    floor (0.305191040039062 × 32768)
    floor (10000.5)     		ty = 10000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26896 / 10000 ti = "15/26896/10000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26896/10000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26896 ÷ 215
    26896 ÷ 32768     		x = 0.82080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10000 ÷ 215
    10000 ÷ 32768     		y = 0.30517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82080078125 × 2 - 1) × π
    0.6416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01565076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30517578125 × 2 - 1) × π
    0.3896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22411666869775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01565076} λ = 2.01565076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22411666869775))-π/2
    2×atan(3.40116040403235)-π/2
    2×1.28483724492113-π/2
    2.56967448984225-1.57079632675     		φ = 0.99887816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01565076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.488282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99887816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.231503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26896 KachelY 10000 2.01565076 0.99887816 115.488282 57.231503
    Oben rechts KachelX + 1 26897 KachelY 10000 2.01584250 0.99887816 115.499267 57.231503
    Unten links KachelX 26896 KachelY + 1 10001 2.01565076 0.99877437 115.488282 57.225556
    Unten rechts KachelX + 1 26897 KachelY + 1 10001 2.01584250 0.99877437 115.499267 57.225556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99887816-0.99877437) × R
    0.000103789999999937 × 6371000     		dl = 661.246089999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99887816-0.99877437) × R
    0.000103789999999937 × 6371000     		dr = 661.246089999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01565076-2.01584250) × cos(0.99887816) × R
    0.000191739999999996 × 0.541245961487789 × 6371000     		do = 661.172827677251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01565076-2.01584250) × cos(0.99877437) × R
    0.000191739999999996 × 0.541333231880435 × 6371000     		du = 661.279435054274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99887816)-sin(0.99877437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541245961487789-0.541333231880435)×R²
    abs(2.01584250-2.01565076)×8.72703926459995e-05×R²
    0.000191739999999996×8.72703926459995e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.72703926459995e-05×40589641000000     		ar = 437233.194363076m²