Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26894 / 6233
↖ ↑ ↗
← N 81.017200°
W 32.266846°		 ← 95.38 m → N 81.017200°
W 32.261352°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
N 81.016342°
W 32.266846°		 ← 95.39 m →
9 097 m²		 N 81.016342°
W 32.261352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410377502441406 y=0.0951156616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410377502441406 × 216)
    floor (0.410377502441406 × 65536)
    floor (26894.5)     		tx = 26894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0951156616210938 × 216)
    floor (0.0951156616210938 × 65536)
    floor (6233.5)     		ty = 6233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26894 / 6233 ti = "16/26894/6233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26894/6233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26894 ÷ 216
    26894 ÷ 65536     		x = 0.410369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6233 ÷ 216
    6233 ÷ 65536     		y = 0.0951080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.17926025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56316270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0951080322265625 × 2 - 1) × π
    0.809783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54401126283638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56316270} λ = -0.56316270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54401126283638))-π/2
    2×atan(12.7306346097173)-π/2
    2×1.49240660977984-π/2
    2.98481321955969-1.57079632675     		φ = 1.41401689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56316270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.266846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41401689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.017200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26894 KachelY 6233 -0.56316270 1.41401689 -32.266846 81.017200
    Oben rechts KachelX + 1 26895 KachelY 6233 -0.56306682 1.41401689 -32.261352 81.017200
    Unten links KachelX 26894 KachelY + 1 6234 -0.56316270 1.41400192 -32.266846 81.016342
    Unten rechts KachelX + 1 26895 KachelY + 1 6234 -0.56306682 1.41400192 -32.261352 81.016342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41401689-1.41400192) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41401689-1.41400192) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56316270--0.56306682) × cos(1.41401689) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.15613795802083 × 6371000     		do = 95.3771027412498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56316270--0.56306682) × cos(1.41400192) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.156152744400133 × 6371000     		du = 95.3861350229307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41401689)-sin(1.41400192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15613795802083-0.156152744400133)×R²
    abs(-0.56306682--0.56316270)×1.47863793025504e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.47863793025504e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.47863793025504e-05×40589641000000     		ar = 9096.9141196141m²