Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26893 / 6924
↖ ↑ ↗
← N 80.404726°
W 32.272339°		 ← 101.81 m → N 80.404726°
W 32.266846°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 80.403810°
W 32.272339°		 ← 101.82 m →
10 366 m²		 N 80.403810°
W 32.266846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410362243652344 y=0.105659484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410362243652344 × 216)
    floor (0.410362243652344 × 65536)
    floor (26893.5)     		tx = 26893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105659484863281 × 216)
    floor (0.105659484863281 × 65536)
    floor (6924.5)     		ty = 6924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26893 / 6924 ti = "16/26893/6924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26893/6924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26893 ÷ 216
    26893 ÷ 65536     		x = 0.410354614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6924 ÷ 216
    6924 ÷ 65536     		y = 0.10565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410354614257812 × 2 - 1) × π
    -0.179290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56325857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10565185546875 × 2 - 1) × π
    0.7886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47776246756146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56325857} λ = -0.56325857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47776246756146))-π/2
    2×atan(11.9145753213516)-π/2
    2×1.48706176463614-π/2
    2.97412352927227-1.57079632675     		φ = 1.40332720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56325857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.272339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40332720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.404726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26893 KachelY 6924 -0.56325857 1.40332720 -32.272339 80.404726
    Oben rechts KachelX + 1 26894 KachelY 6924 -0.56316270 1.40332720 -32.266846 80.404726
    Unten links KachelX 26893 KachelY + 1 6925 -0.56325857 1.40331122 -32.272339 80.403810
    Unten rechts KachelX + 1 26894 KachelY + 1 6925 -0.56316270 1.40331122 -32.266846 80.403810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40332720-1.40331122) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dl = 101.808580000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40332720-1.40331122) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dr = 101.808580000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56325857--0.56316270) × cos(1.40332720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166687419818776 × 6371000     		do = 101.810637438162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56325857--0.56316270) × cos(1.40331122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166703176233922 × 6371000     		du = 101.820261263832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40332720)-sin(1.40331122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166687419818776-0.166703176233922)×R²
    abs(-0.56316270--0.56325857)×1.57564151455625e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57564151455625e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57564151455625e-05×40589641000000     		ar = 10365.6863208563m²