Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26892 / 6923
↖ ↑ ↗
← N 80.405641°
W 32.277832°		 ← 101.80 m → N 80.405641°
W 32.272339°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 80.404726°
W 32.277832°		 ← 101.81 m →
10 365 m²		 N 80.404726°
W 32.272339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410346984863281 y=0.105644226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410346984863281 × 216)
    floor (0.410346984863281 × 65536)
    floor (26892.5)     		tx = 26892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105644226074219 × 216)
    floor (0.105644226074219 × 65536)
    floor (6923.5)     		ty = 6923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26892 / 6923 ti = "16/26892/6923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26892/6923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26892 ÷ 216
    26892 ÷ 65536     		x = 0.41033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6923 ÷ 216
    6923 ÷ 65536     		y = 0.105636596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56335444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105636596679688 × 2 - 1) × π
    0.788726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4778583413607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56335444} λ = -0.56335444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4778583413607))-π/2
    2×atan(11.9157176717139)-π/2
    2×1.48706975473646-π/2
    2.97413950947293-1.57079632675     		φ = 1.40334318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56335444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40334318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.405641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26892 KachelY 6923 -0.56335444 1.40334318 -32.277832 80.405641
    Oben rechts KachelX + 1 26893 KachelY 6923 -0.56325857 1.40334318 -32.272339 80.405641
    Unten links KachelX 26892 KachelY + 1 6924 -0.56335444 1.40332720 -32.277832 80.404726
    Unten rechts KachelX + 1 26893 KachelY + 1 6924 -0.56325857 1.40332720 -32.272339 80.404726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40334318-1.40332720) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40334318-1.40332720) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56335444--0.56325857) × cos(1.40334318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166671663361065 × 6371000     		do = 101.801013586494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56335444--0.56325857) × cos(1.40332720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166687419818776 × 6371000     		du = 101.810637438162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40334318)-sin(1.40332720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166671663361065-0.166687419818776)×R²
    abs(-0.56325857--0.56335444)×1.57564577107361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57564577107361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57564577107361e-05×40589641000000     		ar = 10364.7065312359m²