Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26892 / 25110
↖ ↑ ↗
← S 68.744351°
E115.444336°		 ← 442.88 m → S 68.744351°
E115.455322°		 →
↑
442.85 m
↓
↑
442.85 m
↓
S 68.748333°
E115.444336°		 ← 442.80 m →
196 111 m²		 S 68.748333°
E115.455322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820693969726562 y=0.766311645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820693969726562 × 215)
    floor (0.820693969726562 × 32768)
    floor (26892.5)     		tx = 26892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766311645507812 × 215)
    floor (0.766311645507812 × 32768)
    floor (25110.5)     		ty = 25110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26892 / 25110 ti = "15/26892/25110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26892/25110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26892 ÷ 215
    26892 ÷ 32768     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25110 ÷ 215
    25110 ÷ 32768     		y = 0.76629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.5325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67318954433844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67318954433844))-π/2
    2×atan(0.18764759979596)-π/2
    2×0.185490533155461-π/2
    0.370981066310921-1.57079632675     		φ = -1.19981526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19981526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.744351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26892 KachelY 25110 2.01488376 -1.19981526 115.444336 -68.744351
    Oben rechts KachelX + 1 26893 KachelY 25110 2.01507551 -1.19981526 115.455322 -68.744351
    Unten links KachelX 26892 KachelY + 1 25111 2.01488376 -1.19988477 115.444336 -68.748333
    Unten rechts KachelX + 1 26893 KachelY + 1 25111 2.01507551 -1.19988477 115.455322 -68.748333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19981526--1.19988477) × R
    6.95099999998838e-05 × 6371000     		dl = 442.84820999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19981526--1.19988477) × R
    6.95099999998838e-05 × 6371000     		dr = 442.84820999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01507551) × cos(-1.19981526) × R
    0.000191749999999935 × 0.362529933193006 × 6371000     		do = 442.880795688304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01507551) × cos(-1.19988477) × R
    0.000191749999999935 × 0.362465150934627 × 6371000     		du = 442.801655138765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19981526)-sin(-1.19988477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362529933193006-0.362465150934627)×R²
    abs(2.01507551-2.01488376)×6.47822583784152e-05×R²
    0.000191749999999935×6.47822583784152e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.47822583784152e-05×40589641000000     		ar = 196111.444067109m²