Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26891 / 6898
↖ ↑ ↗
← N 80.428504°
W 32.283325°		 ← 101.57 m → N 80.428504°
W 32.277832°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
N 80.427590°
W 32.283325°		 ← 101.58 m →
10 322 m²		 N 80.427590°
W 32.277832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410331726074219 y=0.105262756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410331726074219 × 216)
    floor (0.410331726074219 × 65536)
    floor (26891.5)     		tx = 26891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105262756347656 × 216)
    floor (0.105262756347656 × 65536)
    floor (6898.5)     		ty = 6898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26891 / 6898 ti = "16/26891/6898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26891/6898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26891 ÷ 216
    26891 ÷ 65536     		x = 0.410324096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6898 ÷ 216
    6898 ÷ 65536     		y = 0.105255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410324096679688 × 2 - 1) × π
    -0.179351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56345032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105255126953125 × 2 - 1) × π
    0.78948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48025518634171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56345032} λ = -0.56345032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48025518634171))-π/2
    2×atan(11.9443120542723)-π/2
    2×1.48726926195544-π/2
    2.97453852391088-1.57079632675     		φ = 1.40374220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56345032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.283325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40374220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.428504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26891 KachelY 6898 -0.56345032 1.40374220 -32.283325 80.428504
    Oben rechts KachelX + 1 26892 KachelY 6898 -0.56335444 1.40374220 -32.277832 80.428504
    Unten links KachelX 26891 KachelY + 1 6899 -0.56345032 1.40372625 -32.283325 80.427590
    Unten rechts KachelX + 1 26892 KachelY + 1 6899 -0.56335444 1.40372625 -32.277832 80.427590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40374220-1.40372625) × R
    1.59499999998758e-05 × 6371000     		dl = 101.617449999209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40374220-1.40372625) × R
    1.59499999998758e-05 × 6371000     		dr = 101.617449999209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56345032--0.56335444) × cos(1.40374220) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166278211414202 × 6371000     		do = 101.571291534052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56345032--0.56335444) × cos(1.40372625) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166293939351177 × 6371000     		du = 101.58089896763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40374220)-sin(1.40372625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166278211414202-0.166293939351177)×R²
    abs(-0.56335444--0.56345032)×1.57279369749352e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57279369749352e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57279369749352e-05×40589641000000     		ar = 10321.9037801491m²