Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26891 / 13573
↖ ↑ ↗
← N 29.487425°
E115.433350°		 ← 1 063.34 m → N 29.487425°
E115.444336°		 →
↑
1 063.45 m
↓
↑
1 063.45 m
↓
N 29.477861°
E115.433350°		 ← 1 063.44 m →
1 130 856 m²		 N 29.477861°
E115.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820663452148438 y=0.414230346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820663452148438 × 215)
    floor (0.820663452148438 × 32768)
    floor (26891.5)     		tx = 26891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414230346679688 × 215)
    floor (0.414230346679688 × 32768)
    floor (13573.5)     		ty = 13573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26891 / 13573 ti = "15/26891/13573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26891/13573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26891 ÷ 215
    26891 ÷ 32768     		x = 0.820648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13573 ÷ 215
    13573 ÷ 32768     		y = 0.414215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820648193359375 × 2 - 1) × π
    0.64129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01469202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414215087890625 × 2 - 1) × π
    0.17156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539002499327911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01469202} λ = 2.01469202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539002499327911))-π/2
    2×atan(1.71429599762266)-π/2
    2×1.04272448915224-π/2
    2.08544897830448-1.57079632675     		φ = 0.51465265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01469202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51465265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.487425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26891 KachelY 13573 2.01469202 0.51465265 115.433350 29.487425
    Oben rechts KachelX + 1 26892 KachelY 13573 2.01488376 0.51465265 115.444336 29.487425
    Unten links KachelX 26891 KachelY + 1 13574 2.01469202 0.51448573 115.433350 29.477861
    Unten rechts KachelX + 1 26892 KachelY + 1 13574 2.01488376 0.51448573 115.444336 29.477861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51465265-0.51448573) × R
    0.00016692000000007 × 6371000     		dl = 1063.44732000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51465265-0.51448573) × R
    0.00016692000000007 × 6371000     		dr = 1063.44732000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01469202-2.01488376) × cos(0.51465265) × R
    0.000191739999999996 × 0.87046375177315 × 6371000     		do = 1063.33722762269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01469202-2.01488376) × cos(0.51448573) × R
    0.000191739999999996 × 0.870545903098978 × 6371000     		du = 1063.4375816729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51465265)-sin(0.51448573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87046375177315-0.870545903098978)×R²
    abs(2.01488376-2.01469202)×8.2151325828006e-05×R²
    0.000191739999999996×8.2151325828006e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.2151325828006e-05×40589641000000     		ar = 1130856.4882205m²