Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26890 / 6926
↖ ↑ ↗
← N 80.402895°
W 32.288818°		 ← 101.83 m → N 80.402895°
W 32.283325°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
N 80.401979°
W 32.288818°		 ← 101.84 m →
10 374 m²		 N 80.401979°
W 32.283325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410316467285156 y=0.105690002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410316467285156 × 216)
    floor (0.410316467285156 × 65536)
    floor (26890.5)     		tx = 26890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105690002441406 × 216)
    floor (0.105690002441406 × 65536)
    floor (6926.5)     		ty = 6926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26890 / 6926 ti = "16/26890/6926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26890/6926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26890 ÷ 216
    26890 ÷ 65536     		x = 0.410308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6926 ÷ 216
    6926 ÷ 65536     		y = 0.105682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.17938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56354619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105682373046875 × 2 - 1) × π
    0.78863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47757071996298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56354619} λ = -0.56354619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47757071996298))-π/2
    2×atan(11.9122909491653)-π/2
    2×1.48704578216934-π/2
    2.97409156433867-1.57079632675     		φ = 1.40329524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56354619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.288818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40329524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.402895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26890 KachelY 6926 -0.56354619 1.40329524 -32.288818 80.402895
    Oben rechts KachelX + 1 26891 KachelY 6926 -0.56345032 1.40329524 -32.283325 80.402895
    Unten links KachelX 26890 KachelY + 1 6927 -0.56354619 1.40327925 -32.288818 80.401979
    Unten rechts KachelX + 1 26891 KachelY + 1 6927 -0.56345032 1.40327925 -32.283325 80.401979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40329524-1.40327925) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dl = 101.872290000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40329524-1.40327925) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dr = 101.872290000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56354619--0.56345032) × cos(1.40329524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166718932606498 × 6371000     		do = 101.829885063501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56354619--0.56345032) × cos(1.40327925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166734698796518 × 6371000     		du = 101.839514859545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40329524)-sin(1.40327925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166718932606498-0.166734698796518)×R²
    abs(-0.56345032--0.56354619)×1.5766190020694e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5766190020694e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5766190020694e-05×40589641000000     		ar = 10374.1340867117m²