Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26890 / 25128
↖ ↑ ↗
← S 68.815927°
E115.422363°		 ← 441.46 m → S 68.815927°
E115.433350°		 →
↑
441.38 m
↓
↑
441.38 m
↓
S 68.819897°
E115.422363°		 ← 441.38 m →
194 835 m²		 S 68.819897°
E115.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820632934570312 y=0.766860961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820632934570312 × 215)
    floor (0.820632934570312 × 32768)
    floor (26890.5)     		tx = 26890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766860961914062 × 215)
    floor (0.766860961914062 × 32768)
    floor (25128.5)     		ty = 25128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26890 / 25128 ti = "15/26890/25128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26890/25128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26890 ÷ 215
    26890 ÷ 32768     		x = 0.82061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25128 ÷ 215
    25128 ÷ 32768     		y = 0.766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82061767578125 × 2 - 1) × π
    0.6412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01450027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.53369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67664100111108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01450027} λ = 2.01450027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67664100111108))-π/2
    2×atan(0.187001058613076)-π/2
    2×0.184865910261283-π/2
    0.369731820522567-1.57079632675     		φ = -1.20106451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01450027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20106451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.815927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26890 KachelY 25128 2.01450027 -1.20106451 115.422363 -68.815927
    Oben rechts KachelX + 1 26891 KachelY 25128 2.01469202 -1.20106451 115.433350 -68.815927
    Unten links KachelX 26890 KachelY + 1 25129 2.01450027 -1.20113379 115.422363 -68.819897
    Unten rechts KachelX + 1 26891 KachelY + 1 25129 2.01469202 -1.20113379 115.433350 -68.819897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20106451--1.20113379) × R
    6.92800000001714e-05 × 6371000     		dl = 441.382880001092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20106451--1.20113379) × R
    6.92800000001714e-05 × 6371000     		dr = 441.382880001092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01450027-2.01469202) × cos(-1.20106451) × R
    0.000191749999999935 × 0.361365384428115 × 6371000     		do = 441.458137208574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01450027-2.01469202) × cos(-1.20113379) × R
    0.000191749999999935 × 0.361300785206042 × 6371000     		du = 441.37922026337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20106451)-sin(-1.20113379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361365384428115-0.361300785206042)×R²
    abs(2.01469202-2.01450027)×6.45992220731917e-05×R²
    0.000191749999999935×6.45992220731917e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.45992220731917e-05×40589641000000     		ar = 194834.647784915m²