Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26890 / 10622
↖ ↑ ↗
← N 53.343993°
E115.422363°		 ← 729.33 m → N 53.343993°
E115.433350°		 →
↑
729.35 m
↓
↑
729.35 m
↓
N 53.337434°
E115.422363°		 ← 729.44 m →
531 979 m²		 N 53.337434°
E115.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820632934570312 y=0.324172973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820632934570312 × 215)
    floor (0.820632934570312 × 32768)
    floor (26890.5)     		tx = 26890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324172973632812 × 215)
    floor (0.324172973632812 × 32768)
    floor (10622.5)     		ty = 10622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26890 / 10622 ti = "15/26890/10622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26890/10622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26890 ÷ 215
    26890 ÷ 32768     		x = 0.82061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10622 ÷ 215
    10622 ÷ 32768     		y = 0.32415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82061767578125 × 2 - 1) × π
    0.6412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01450027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32415771484375 × 2 - 1) × π
    0.3516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10484966244305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01450027} λ = 2.01450027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10484966244305))-π/2
    2×atan(3.01877060009367)-π/2
    2×1.25091231936573-π/2
    2.50182463873145-1.57079632675     		φ = 0.93102831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01450027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93102831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.343993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26890 KachelY 10622 2.01450027 0.93102831 115.422363 53.343993
    Oben rechts KachelX + 1 26891 KachelY 10622 2.01469202 0.93102831 115.433350 53.343993
    Unten links KachelX 26890 KachelY + 1 10623 2.01450027 0.93091383 115.422363 53.337434
    Unten rechts KachelX + 1 26891 KachelY + 1 10623 2.01469202 0.93091383 115.433350 53.337434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93102831-0.93091383) × R
    0.000114479999999917 × 6371000     		dl = 729.35207999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93102831-0.93091383) × R
    0.000114479999999917 × 6371000     		dr = 729.35207999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01450027-2.01469202) × cos(0.93102831) × R
    0.000191749999999935 × 0.59700935254995 × 6371000     		do = 729.33005769186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01450027-2.01469202) × cos(0.93091383) × R
    0.000191749999999935 × 0.597101188417518 × 6371000     		du = 729.442247992238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93102831)-sin(0.93091383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59700935254995-0.597101188417518)×R²
    abs(2.01469202-2.01450027)×9.18358675676689e-05×R²
    0.000191749999999935×9.18358675676689e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.18358675676689e-05×40589641000000     		ar = 531979.308279464m²