Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26889 / 10466
↖ ↑ ↗
← N 54.354956°
E115.411377°		 ← 711.92 m → N 54.354956°
E115.422363°		 →
↑
711.96 m
↓
↑
711.96 m
↓
N 54.348553°
E115.411377°		 ← 712.04 m →
506 901 m²		 N 54.348553°
E115.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820602416992188 y=0.319412231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820602416992188 × 215)
    floor (0.820602416992188 × 32768)
    floor (26889.5)     		tx = 26889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319412231445312 × 215)
    floor (0.319412231445312 × 32768)
    floor (10466.5)     		ty = 10466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26889 / 10466 ti = "15/26889/10466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26889/10466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26889 ÷ 215
    26889 ÷ 32768     		x = 0.820587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10466 ÷ 215
    10466 ÷ 32768     		y = 0.31939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820587158203125 × 2 - 1) × π
    0.64117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01430852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31939697265625 × 2 - 1) × π
    0.3612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13476228780597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01430852} λ = 2.01430852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13476228780597))-π/2
    2×atan(3.11043406691095)-π/2
    2×1.25973463416717-π/2
    2.51946926833434-1.57079632675     		φ = 0.94867294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01430852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94867294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.354956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26889 KachelY 10466 2.01430852 0.94867294 115.411377 54.354956
    Oben rechts KachelX + 1 26890 KachelY 10466 2.01450027 0.94867294 115.422363 54.354956
    Unten links KachelX 26889 KachelY + 1 10467 2.01430852 0.94856119 115.411377 54.348553
    Unten rechts KachelX + 1 26890 KachelY + 1 10467 2.01450027 0.94856119 115.422363 54.348553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94867294-0.94856119) × R
    0.000111749999999966 × 6371000     		dl = 711.959249999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94867294-0.94856119) × R
    0.000111749999999966 × 6371000     		dr = 711.959249999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01430852-2.01450027) × cos(0.94867294) × R
    0.000191749999999935 × 0.582762028129284 × 6371000     		do = 711.924966972097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01430852-2.01450027) × cos(0.94856119) × R
    0.000191749999999935 × 0.582852837329962 × 6371000     		du = 712.035903055905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94867294)-sin(0.94856119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582762028129284-0.582852837329962)×R²
    abs(2.01450027-2.01430852)×9.08092006771666e-05×R²
    0.000191749999999935×9.08092006771666e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.08092006771666e-05×40589641000000     		ar = 506901.057053977m²