Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26888 / 6907
↖ ↑ ↗
← N 80.420279°
W 32.299805°		 ← 101.65 m → N 80.420279°
W 32.294312°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 80.419365°
W 32.299805°		 ← 101.66 m →
10 336 m²		 N 80.419365°
W 32.294312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410285949707031 y=0.105400085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410285949707031 × 216)
    floor (0.410285949707031 × 65536)
    floor (26888.5)     		tx = 26888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105400085449219 × 216)
    floor (0.105400085449219 × 65536)
    floor (6907.5)     		ty = 6907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26888 / 6907 ti = "16/26888/6907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26888/6907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26888 ÷ 216
    26888 ÷ 65536     		x = 0.4102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6907 ÷ 216
    6907 ÷ 65536     		y = 0.105392456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105392456054688 × 2 - 1) × π
    0.789215087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47939232214854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56373794} λ = -0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47939232214854))-π/2
    2×atan(11.934010180287)-π/2
    2×1.48719749366932-π/2
    2.97439498733864-1.57079632675     		φ = 1.40359866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40359866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.420279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26888 KachelY 6907 -0.56373794 1.40359866 -32.299805 80.420279
    Oben rechts KachelX + 1 26889 KachelY 6907 -0.56364207 1.40359866 -32.294312 80.420279
    Unten links KachelX 26888 KachelY + 1 6908 -0.56373794 1.40358270 -32.299805 80.419365
    Unten rechts KachelX + 1 26889 KachelY + 1 6908 -0.56364207 1.40358270 -32.294312 80.419365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40359866-1.40358270) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dl = 101.681160000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40359866-1.40358270) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dr = 101.681160000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56373794--0.56364207) × cos(1.40359866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16641975146309 × 6371000     		do = 101.647148880093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56373794--0.56364207) × cos(1.40358270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16643548887972 × 6371000     		du = 101.656761101702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40359866)-sin(1.40358270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16641975146309-0.16643548887972)×R²
    abs(-0.56364207--0.56373794)×1.57374166307178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57374166307178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57374166307178e-05×40589641000000     		ar = 10336.0886999305m²