Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26888 / 10568
↖ ↑ ↗
← N 53.696707°
E115.400390°		 ← 723.28 m → N 53.696707°
E115.411377°		 →
↑
723.36 m
↓
↑
723.36 m
↓
N 53.690201°
E115.400390°		 ← 723.39 m →
523 237 m²		 N 53.690201°
E115.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820571899414062 y=0.322525024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820571899414062 × 215)
    floor (0.820571899414062 × 32768)
    floor (26888.5)     		tx = 26888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322525024414062 × 215)
    floor (0.322525024414062 × 32768)
    floor (10568.5)     		ty = 10568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26888 / 10568 ti = "15/26888/10568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26888/10568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26888 ÷ 215
    26888 ÷ 32768     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10568 ÷ 215
    10568 ÷ 32768     		y = 0.322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322509765625 × 2 - 1) × π
    0.35498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11520403276099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11520403276099))-π/2
    2×atan(3.05019045447821)-π/2
    2×1.25399032612351-π/2
    2.50798065224703-1.57079632675     		φ = 0.93718433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93718433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.696707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26888 KachelY 10568 2.01411677 0.93718433 115.400390 53.696707
    Oben rechts KachelX + 1 26889 KachelY 10568 2.01430852 0.93718433 115.411377 53.696707
    Unten links KachelX 26888 KachelY + 1 10569 2.01411677 0.93707079 115.400390 53.690201
    Unten rechts KachelX + 1 26889 KachelY + 1 10569 2.01430852 0.93707079 115.411377 53.690201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93718433-0.93707079) × R
    0.000113539999999968 × 6371000     		dl = 723.363339999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93718433-0.93707079) × R
    0.000113539999999968 × 6371000     		dr = 723.363339999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01430852) × cos(0.93718433) × R
    0.000191750000000379 × 0.592059501225734 × 6371000     		do = 723.28312503421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01430852) × cos(0.93707079) × R
    0.000191750000000379 × 0.592150998642804 × 6371000     		du = 723.394901870177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93718433)-sin(0.93707079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592059501225734-0.592150998642804)×R²
    abs(2.01430852-2.01411677)×9.14974170705962e-05×R²
    0.000191750000000379×9.14974170705962e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.14974170705962e-05×40589641000000     		ar = 523236.925285268m²