Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26887 / 25129
↖ ↑ ↗
← S 68.819897°
E115.389404°		 ← 441.36 m → S 68.819897°
E115.400390°		 →
↑
441.32 m
↓
↑
441.32 m
↓
S 68.823866°
E115.389404°		 ← 441.28 m →
194 762 m²		 S 68.823866°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820541381835938 y=0.766891479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820541381835938 × 215)
    floor (0.820541381835938 × 32768)
    floor (26887.5)     		tx = 26887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766891479492188 × 215)
    floor (0.766891479492188 × 32768)
    floor (25129.5)     		ty = 25129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26887 / 25129 ti = "15/26887/25129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26887/25129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26887 ÷ 215
    26887 ÷ 32768     		x = 0.820526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25129 ÷ 215
    25129 ÷ 32768     		y = 0.766876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820526123046875 × 2 - 1) × π
    0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.53375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67683274870956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01392503} λ = 2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67683274870956))-π/2
    2×atan(0.186965205046701)-π/2
    2×0.184831267885608-π/2
    0.369662535771217-1.57079632675     		φ = -1.20113379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20113379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.819897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26887 KachelY 25129 2.01392503 -1.20113379 115.389404 -68.819897
    Oben rechts KachelX + 1 26888 KachelY 25129 2.01411677 -1.20113379 115.400390 -68.819897
    Unten links KachelX 26887 KachelY + 1 25130 2.01392503 -1.20120306 115.389404 -68.823866
    Unten rechts KachelX + 1 26888 KachelY + 1 25130 2.01411677 -1.20120306 115.400390 -68.823866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20113379--1.20120306) × R
    6.92700000000102e-05 × 6371000     		dl = 441.319170000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20113379--1.20120306) × R
    6.92700000000102e-05 × 6371000     		dr = 441.319170000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01392503-2.01411677) × cos(-1.20113379) × R
    0.000191739999999996 × 0.361300785206042 × 6371000     		do = 441.356201790484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01392503-2.01411677) × cos(-1.20120306) × R
    0.000191739999999996 × 0.36123619357457 × 6371000     		du = 441.27729823339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20113379)-sin(-1.20120306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361300785206042-0.36123619357457)×R²
    abs(2.01411677-2.01392503)×6.45916314716e-05×R²
    0.000191739999999996×6.45916314716e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.45916314716e-05×40589641000000     		ar = 194761.541900205m²