Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26887 / 10471
↖ ↑ ↗
← N 54.322931°
E115.389404°		 ← 712.44 m → N 54.322931°
E115.400390°		 →
↑
712.53 m
↓
↑
712.53 m
↓
N 54.316523°
E115.389404°		 ← 712.55 m →
507 678 m²		 N 54.316523°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820541381835938 y=0.319564819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820541381835938 × 215)
    floor (0.820541381835938 × 32768)
    floor (26887.5)     		tx = 26887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319564819335938 × 215)
    floor (0.319564819335938 × 32768)
    floor (10471.5)     		ty = 10471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26887 / 10471 ti = "15/26887/10471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26887/10471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26887 ÷ 215
    26887 ÷ 32768     		x = 0.820526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10471 ÷ 215
    10471 ÷ 32768     		y = 0.319549560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820526123046875 × 2 - 1) × π
    0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319549560546875 × 2 - 1) × π
    0.36090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13380354981357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01392503} λ = 2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13380354981357))-π/2
    2×atan(3.10745340466352)-π/2
    2×1.25945516728006-π/2
    2.51891033456011-1.57079632675     		φ = 0.94811401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94811401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.322931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26887 KachelY 10471 2.01392503 0.94811401 115.389404 54.322931
    Oben rechts KachelX + 1 26888 KachelY 10471 2.01411677 0.94811401 115.400390 54.322931
    Unten links KachelX 26887 KachelY + 1 10472 2.01392503 0.94800217 115.389404 54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 26888 KachelY + 1 10472 2.01411677 0.94800217 115.400390 54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94811401-0.94800217) × R
    0.000111839999999974 × 6371000     		dl = 712.532639999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94811401-0.94800217) × R
    0.000111839999999974 × 6371000     		dr = 712.532639999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01392503-2.01411677) × cos(0.94811401) × R
    0.000191739999999996 × 0.583216147551376 × 6371000     		do = 712.442580381776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01392503-2.01411677) × cos(0.94800217) × R
    0.000191739999999996 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 712.553555494947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94811401)-sin(0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583216147551376-0.583306993438132)×R²
    abs(2.01411677-2.01392503)×9.08458867555639e-05×R²
    0.000191739999999996×9.08458867555639e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.08458867555639e-05×40589641000000     		ar = 507678.129872163m²