Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26884 / 6230
↖ ↑ ↗
← N 81.019773°
W 32.321777°		 ← 95.34 m → N 81.019773°
W 32.316284°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
N 81.018915°
W 32.321777°		 ← 95.35 m →
9 093 m²		 N 81.018915°
W 32.316284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410224914550781 y=0.0950698852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410224914550781 × 216)
    floor (0.410224914550781 × 65536)
    floor (26884.5)     		tx = 26884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0950698852539062 × 216)
    floor (0.0950698852539062 × 65536)
    floor (6230.5)     		ty = 6230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26884 / 6230 ti = "16/26884/6230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26884/6230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26884 ÷ 216
    26884 ÷ 65536     		x = 0.41021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6230 ÷ 216
    6230 ÷ 65536     		y = 0.095062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56412143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095062255859375 × 2 - 1) × π
    0.80987548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5442988842341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56412143} λ = -0.56412143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5442988842341))-π/2
    2×atan(12.7342967392658)-π/2
    2×1.49242906089904-π/2
    2.98485812179809-1.57079632675     		φ = 1.41406180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56412143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41406180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.019773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26884 KachelY 6230 -0.56412143 1.41406180 -32.321777 81.019773
    Oben rechts KachelX + 1 26885 KachelY 6230 -0.56402556 1.41406180 -32.316284 81.019773
    Unten links KachelX 26884 KachelY + 1 6231 -0.56412143 1.41404683 -32.321777 81.018915
    Unten rechts KachelX + 1 26885 KachelY + 1 6231 -0.56402556 1.41404683 -32.316284 81.018915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41406180-1.41404683) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41406180-1.41404683) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56412143--0.56402556) × cos(1.41406180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156093598672992 × 6371000     		do = 95.3400610447496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56412143--0.56402556) × cos(1.41404683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156108385157257 × 6371000     		du = 95.3490924484997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41406180)-sin(1.41404683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156093598672992-0.156108385157257)×R²
    abs(-0.56402556--0.56412143)×1.47864842645895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47864842645895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47864842645895e-05×40589641000000     		ar = 9093.38126805695m²