Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26883 / 10497
↖ ↑ ↗
← N 54.156001°
E115.345459°		 ← 715.33 m → N 54.156001°
E115.356445°		 →
↑
715.40 m
↓
↑
715.40 m
↓
N 54.149567°
E115.345459°		 ← 715.44 m →
511 787 m²		 N 54.149567°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820419311523438 y=0.320358276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820419311523438 × 215)
    floor (0.820419311523438 × 32768)
    floor (26883.5)     		tx = 26883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320358276367188 × 215)
    floor (0.320358276367188 × 32768)
    floor (10497.5)     		ty = 10497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26883 / 10497 ti = "15/26883/10497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26883/10497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26883 ÷ 215
    26883 ÷ 32768     		x = 0.820404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10497 ÷ 215
    10497 ÷ 32768     		y = 0.320343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820404052734375 × 2 - 1) × π
    0.64080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01315804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320343017578125 × 2 - 1) × π
    0.35931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12881811225308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01315804} λ = 2.01315804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12881811225308))-π/2
    2×atan(3.09199994288429)-π/2
    2×1.25799842775756-π/2
    2.51599685551511-1.57079632675     		φ = 0.94520053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01315804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94520053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.156001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26883 KachelY 10497 2.01315804 0.94520053 115.345459 54.156001
    Oben rechts KachelX + 1 26884 KachelY 10497 2.01334978 0.94520053 115.356445 54.156001
    Unten links KachelX 26883 KachelY + 1 10498 2.01315804 0.94508824 115.345459 54.149567
    Unten rechts KachelX + 1 26884 KachelY + 1 10498 2.01334978 0.94508824 115.356445 54.149567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94520053-0.94508824) × R
    0.000112290000000015 × 6371000     		dl = 715.399590000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94520053-0.94508824) × R
    0.000112290000000015 × 6371000     		dr = 715.399590000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01315804-2.01334978) × cos(0.94520053) × R
    0.000191739999999996 × 0.585580338292153 × 6371000     		do = 715.330617962604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01315804-2.01334978) × cos(0.94508824) × R
    0.000191739999999996 × 0.585671358488496 × 6371000     		du = 715.441806008103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94520053)-sin(0.94508824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585580338292153-0.585671358488496)×R²
    abs(2.01334978-2.01315804)×9.10201963429946e-05×R²
    0.000191739999999996×9.10201963429946e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.10201963429946e-05×40589641000000     		ar = 511787.003283861m²