Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26882 / 10574
↖ ↑ ↗
← N 53.657661°
E115.334473°		 ← 723.95 m → N 53.657661°
E115.345459°		 →
↑
724 m
↓
↑
724 m
↓
N 53.651150°
E115.334473°		 ← 724.07 m →
524 183 m²		 N 53.651150°
E115.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820388793945312 y=0.322708129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820388793945312 × 215)
    floor (0.820388793945312 × 32768)
    floor (26882.5)     		tx = 26882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322708129882812 × 215)
    floor (0.322708129882812 × 32768)
    floor (10574.5)     		ty = 10574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26882 / 10574 ti = "15/26882/10574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26882/10574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26882 ÷ 215
    26882 ÷ 32768     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10574 ÷ 215
    10574 ÷ 32768     		y = 0.32269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32269287109375 × 2 - 1) × π
    0.3546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1140535471701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1140535471701))-π/2
    2×atan(3.04668327217909)-π/2
    2×1.25364959024962-π/2
    2.50729918049925-1.57079632675     		φ = 0.93650285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93650285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.657661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26882 KachelY 10574 2.01296629 0.93650285 115.334473 53.657661
    Oben rechts KachelX + 1 26883 KachelY 10574 2.01315804 0.93650285 115.345459 53.657661
    Unten links KachelX 26882 KachelY + 1 10575 2.01296629 0.93638921 115.334473 53.651150
    Unten rechts KachelX + 1 26883 KachelY + 1 10575 2.01315804 0.93638921 115.345459 53.651150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93650285-0.93638921) × R
    0.000113640000000026 × 6371000     		dl = 724.000440000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93650285-0.93638921) × R
    0.000113640000000026 × 6371000     		dr = 724.000440000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01315804) × cos(0.93650285) × R
    0.000191749999999935 × 0.592608564518106 × 6371000     		do = 723.95388230123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01315804) × cos(0.93638921) × R
    0.000191749999999935 × 0.592700096641975 × 6371000     		du = 724.065701536385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93650285)-sin(0.93638921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592608564518106-0.592700096641975)×R²
    abs(2.01315804-2.01296629)×9.15321238693645e-05×R²
    0.000191749999999935×9.15321238693645e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.15321238693645e-05×40589641000000     		ar = 524183.408476974m²