Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26881 / 6399
↖ ↑ ↗
← N 80.873699°
W 32.338257°		 ← 96.89 m → N 80.873699°
W 32.332764°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
N 80.872827°
W 32.338257°		 ← 96.90 m →
9 389 m²		 N 80.872827°
W 32.332764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410179138183594 y=0.0976486206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410179138183594 × 216)
    floor (0.410179138183594 × 65536)
    floor (26881.5)     		tx = 26881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976486206054688 × 216)
    floor (0.0976486206054688 × 65536)
    floor (6399.5)     		ty = 6399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26881 / 6399 ti = "16/26881/6399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26881/6399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26881 ÷ 216
    26881 ÷ 65536     		x = 0.410171508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6399 ÷ 216
    6399 ÷ 65536     		y = 0.0976409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410171508789062 × 2 - 1) × π
    -0.179656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56440906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0976409912109375 × 2 - 1) × π
    0.804718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52809621216252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56440906} λ = -0.56440906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52809621216252))-π/2
    2×atan(12.5296296594525)-π/2
    2×1.49115432223613-π/2
    2.98230864447227-1.57079632675     		φ = 1.41151232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56440906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.338257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41151232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.873699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26881 KachelY 6399 -0.56440906 1.41151232 -32.338257 80.873699
    Oben rechts KachelX + 1 26882 KachelY 6399 -0.56431318 1.41151232 -32.332764 80.873699
    Unten links KachelX 26881 KachelY + 1 6400 -0.56440906 1.41149711 -32.338257 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 26882 KachelY + 1 6400 -0.56431318 1.41149711 -32.332764 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41151232-1.41149711) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dl = 96.9029099995682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41151232-1.41149711) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dr = 96.9029099995682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56440906--0.56431318) × cos(1.41151232) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.15861131781091 × 6371000     		do = 96.8879582295933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56440906--0.56431318) × cos(1.41149711) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 96.8971316549208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41151232)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15861131781091-0.15862633525071)×R²
    abs(-0.56431318--0.56440906)×1.50174397997582e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.50174397997582e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.50174397997582e-05×40589641000000     		ar = 9389.16956232827m²