Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26881 / 10575
↖ ↑ ↗
← N 53.651150°
E115.323486°		 ← 724.07 m → N 53.651150°
E115.334473°		 →
↑
724.06 m
↓
↑
724.06 m
↓
N 53.644638°
E115.323486°		 ← 724.18 m →
524 310 m²		 N 53.644638°
E115.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820358276367188 y=0.322738647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820358276367188 × 215)
    floor (0.820358276367188 × 32768)
    floor (26881.5)     		tx = 26881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322738647460938 × 215)
    floor (0.322738647460938 × 32768)
    floor (10575.5)     		ty = 10575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26881 / 10575 ti = "15/26881/10575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26881/10575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26881 ÷ 215
    26881 ÷ 32768     		x = 0.820343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10575 ÷ 215
    10575 ÷ 32768     		y = 0.322723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820343017578125 × 2 - 1) × π
    0.64068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01277454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322723388671875 × 2 - 1) × π
    0.35455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11386179957162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01277454} λ = 2.01277454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11386179957162))-π/2
    2×atan(3.04609913398366)-π/2
    2×1.25359277022765-π/2
    2.5071855404553-1.57079632675     		φ = 0.93638921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01277454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93638921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.651150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26881 KachelY 10575 2.01277454 0.93638921 115.323486 53.651150
    Oben rechts KachelX + 1 26882 KachelY 10575 2.01296629 0.93638921 115.334473 53.651150
    Unten links KachelX 26881 KachelY + 1 10576 2.01277454 0.93627556 115.323486 53.644638
    Unten rechts KachelX + 1 26882 KachelY + 1 10576 2.01296629 0.93627556 115.334473 53.644638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93638921-0.93627556) × R
    0.000113649999999965 × 6371000     		dl = 724.064149999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93638921-0.93627556) × R
    0.000113649999999965 × 6371000     		dr = 724.064149999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01277454-2.01296629) × cos(0.93638921) × R
    0.000191749999999935 × 0.592700096641975 × 6371000     		do = 724.065701536385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01277454-2.01296629) × cos(0.93627556) × R
    0.000191749999999935 × 0.592791629165245 × 6371000     		du = 724.177521259463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93638921)-sin(0.93627556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592700096641975-0.592791629165245)×R²
    abs(2.01296629-2.01277454)×9.15325232696551e-05×R²
    0.000191749999999935×9.15325232696551e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.15325232696551e-05×40589641000000     		ar = 524310.499617843m²