Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26881 / 10502
↖ ↑ ↗
← N 54.123822°
E115.323486°		 ← 715.92 m → N 54.123822°
E115.334473°		 →
↑
715.97 m
↓
↑
715.97 m
↓
N 54.117383°
E115.323486°		 ← 716.04 m →
512 622 m²		 N 54.117383°
E115.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820358276367188 y=0.320510864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820358276367188 × 215)
    floor (0.820358276367188 × 32768)
    floor (26881.5)     		tx = 26881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320510864257812 × 215)
    floor (0.320510864257812 × 32768)
    floor (10502.5)     		ty = 10502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26881 / 10502 ti = "15/26881/10502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26881/10502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26881 ÷ 215
    26881 ÷ 32768     		x = 0.820343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10502 ÷ 215
    10502 ÷ 32768     		y = 0.32049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820343017578125 × 2 - 1) × π
    0.64068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01277454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32049560546875 × 2 - 1) × π
    0.3590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12785937426068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01277454} λ = 2.01277454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12785937426068))-π/2
    2×atan(3.08903694566251)-π/2
    2×1.25771760960571-π/2
    2.51543521921143-1.57079632675     		φ = 0.94463889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01277454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94463889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.123822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26881 KachelY 10502 2.01277454 0.94463889 115.323486 54.123822
    Oben rechts KachelX + 1 26882 KachelY 10502 2.01296629 0.94463889 115.334473 54.123822
    Unten links KachelX 26881 KachelY + 1 10503 2.01277454 0.94452651 115.323486 54.117383
    Unten rechts KachelX + 1 26882 KachelY + 1 10503 2.01296629 0.94452651 115.334473 54.117383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94463889-0.94452651) × R
    0.000112380000000023 × 6371000     		dl = 715.972980000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94463889-0.94452651) × R
    0.000112380000000023 × 6371000     		dr = 715.972980000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01277454-2.01296629) × cos(0.94463889) × R
    0.000191749999999935 × 0.586035519369062 × 6371000     		do = 715.923992355139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01277454-2.01296629) × cos(0.94452651) × R
    0.000191749999999935 × 0.586126575537404 × 6371000     		du = 716.035230144339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94463889)-sin(0.94452651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586035519369062-0.586126575537404)×R²
    abs(2.01296629-2.01277454)×9.10561683413746e-05×R²
    0.000191749999999935×9.10561683413746e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.10561683413746e-05×40589641000000     		ar = 512622.056424929m²