Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26880 / 6398
↖ ↑ ↗
← N 80.874570°
W 32.343750°		 ← 96.87 m → N 80.874570°
W 32.338257°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
N 80.873699°
W 32.343750°		 ← 96.88 m →
9 381 m²		 N 80.873699°
W 32.338257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410163879394531 y=0.0976333618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410163879394531 × 216)
    floor (0.410163879394531 × 65536)
    floor (26880.5)     		tx = 26880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976333618164062 × 216)
    floor (0.0976333618164062 × 65536)
    floor (6398.5)     		ty = 6398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26880 / 6398 ti = "16/26880/6398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26880/6398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26880 ÷ 216
    26880 ÷ 65536     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6398 ÷ 216
    6398 ÷ 65536     		y = 0.097625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097625732421875 × 2 - 1) × π
    0.80474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52819208596176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52819208596176))-π/2
    2×atan(12.5308309802377)-π/2
    2×1.49116192521121-π/2
    2.98232385042242-1.57079632675     		φ = 1.41152752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41152752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.874570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26880 KachelY 6398 -0.56450493 1.41152752 -32.343750 80.874570
    Oben rechts KachelX + 1 26881 KachelY 6398 -0.56440906 1.41152752 -32.338257 80.874570
    Unten links KachelX 26880 KachelY + 1 6399 -0.56450493 1.41151232 -32.343750 80.873699
    Unten rechts KachelX + 1 26881 KachelY + 1 6399 -0.56440906 1.41151232 -32.338257 80.873699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41152752-1.41151232) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41152752-1.41151232) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56440906) × cos(1.41152752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158596310207851 × 6371000     		do = 96.8686866420797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56440906) × cos(1.41151232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15861131781091 × 6371000     		du = 96.8778531024848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41152752)-sin(1.41151232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158596310207851-0.15861131781091)×R²
    abs(-0.56440906--0.56450493)×1.50076030584478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50076030584478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50076030584478e-05×40589641000000     		ar = 9381.12995614665m²