Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26880 / 10573
↖ ↑ ↗
← N 53.664171°
E115.312500°		 ← 723.84 m → N 53.664171°
E115.323486°		 →
↑
723.94 m
↓
↑
723.94 m
↓
N 53.657661°
E115.312500°		 ← 723.95 m →
524 056 m²		 N 53.657661°
E115.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820327758789062 y=0.322677612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820327758789062 × 215)
    floor (0.820327758789062 × 32768)
    floor (26880.5)     		tx = 26880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322677612304688 × 215)
    floor (0.322677612304688 × 32768)
    floor (10573.5)     		ty = 10573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26880 / 10573 ti = "15/26880/10573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26880/10573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26880 ÷ 215
    26880 ÷ 32768     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10573 ÷ 215
    10573 ÷ 32768     		y = 0.322662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322662353515625 × 2 - 1) × π
    0.35467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11424529476859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11424529476859))-π/2
    2×atan(3.04726752239236)-π/2
    2×1.25370640149637-π/2
    2.50741280299274-1.57079632675     		φ = 0.93661648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93661648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.664171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26880 KachelY 10573 2.01258279 0.93661648 115.312500 53.664171
    Oben rechts KachelX + 1 26881 KachelY 10573 2.01277454 0.93661648 115.323486 53.664171
    Unten links KachelX 26880 KachelY + 1 10574 2.01258279 0.93650285 115.312500 53.657661
    Unten rechts KachelX + 1 26881 KachelY + 1 10574 2.01277454 0.93650285 115.323486 53.657661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93661648-0.93650285) × R
    0.000113629999999976 × 6371000     		dl = 723.936729999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93661648-0.93650285) × R
    0.000113629999999976 × 6371000     		dr = 723.936729999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01277454) × cos(0.93661648) × R
    0.000191749999999935 × 0.59251703279684 × 6371000     		do = 723.842063557911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01277454) × cos(0.93650285) × R
    0.000191749999999935 × 0.592608564518106 × 6371000     		du = 723.95388230123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93661648)-sin(0.93650285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59251703279684-0.592608564518106)×R²
    abs(2.01277454-2.01258279)×9.15317212665245e-05×R²
    0.000191749999999935×9.15317212665245e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.15317212665245e-05×40589641000000     		ar = 524056.331940151m²