Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2688 / 1406
↖ ↑ ↗
← N 81.524751°
W120.937500°		 ← 360.09 m → N 81.524751°
W120.915527°		 →
↑
360.15 m
↓
↑
360.15 m
↓
N 81.521512°
W120.937500°		 ← 360.22 m →
129 711 m²		 N 81.521512°
W120.915527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164093017578125 y=0.085845947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164093017578125 × 214)
    floor (0.164093017578125 × 16384)
    floor (2688.5)     		tx = 2688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.085845947265625 × 214)
    floor (0.085845947265625 × 16384)
    floor (1406.5)     		ty = 1406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2688 / 1406 ti = "14/2688/1406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2688/1406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2688 ÷ 214
    2688 ÷ 16384     		x = 0.1640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1406 ÷ 214
    1406 ÷ 16384     		y = 0.0858154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1640625 × 2 - 1) × π
    -0.671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0858154296875 × 2 - 1) × π
    0.828369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60239840657361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11075756} λ = -2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60239840657361))-π/2
    2×atan(13.4960683078818)-π/2
    2×1.49683582757488-π/2
    2.99367165514975-1.57079632675     		φ = 1.42287533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42287533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.524751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2688 KachelY 1406 -2.11075756 1.42287533 -120.937500 81.524751
    Oben rechts KachelX + 1 2689 KachelY 1406 -2.11037407 1.42287533 -120.915527 81.524751
    Unten links KachelX 2688 KachelY + 1 1407 -2.11075756 1.42281880 -120.937500 81.521512
    Unten rechts KachelX + 1 2689 KachelY + 1 1407 -2.11037407 1.42281880 -120.915527 81.521512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42287533-1.42281880) × R
    5.65300000001656e-05 × 6371000     		dl = 360.152630001055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42287533-1.42281880) × R
    5.65300000001656e-05 × 6371000     		dr = 360.152630001055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11075756--2.11037407) × cos(1.42287533) × R
    0.000383489999999931 × 0.147382152759612 × 6371000     		do = 360.086255404257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11075756--2.11037407) × cos(1.42281880) × R
    0.000383489999999931 × 0.147438065195192 × 6371000     		du = 360.222861493812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42287533)-sin(1.42281880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147382152759612-0.147438065195192)×R²
    abs(-2.11037407--2.11075756)×5.59124355802021e-05×R²
    0.000383489999999931×5.59124355802021e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.59124355802021e-05×40589641000000     		ar = 129710.611468139m²