Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26879 / 10639
↖ ↑ ↗
← N 53.232345°
E115.301514°		 ← 731.20 m → N 53.232345°
E115.312500°		 →
↑
731.26 m
↓
↑
731.26 m
↓
N 53.225769°
E115.301514°		 ← 731.31 m →
534 741 m²		 N 53.225769°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820297241210938 y=0.324691772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820297241210938 × 215)
    floor (0.820297241210938 × 32768)
    floor (26879.5)     		tx = 26879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324691772460938 × 215)
    floor (0.324691772460938 × 32768)
    floor (10639.5)     		ty = 10639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26879 / 10639 ti = "15/26879/10639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26879/10639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26879 ÷ 215
    26879 ÷ 32768     		x = 0.820281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10639 ÷ 215
    10639 ÷ 32768     		y = 0.324676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820281982421875 × 2 - 1) × π
    0.64056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01239105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324676513671875 × 2 - 1) × π
    0.35064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10158995326889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01239105} λ = 2.01239105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10158995326889))-π/2
    2×atan(3.0089463067426)-π/2
    2×1.24993800817064-π/2
    2.49987601634128-1.57079632675     		φ = 0.92907969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01239105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92907969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.232345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26879 KachelY 10639 2.01239105 0.92907969 115.301514 53.232345
    Oben rechts KachelX + 1 26880 KachelY 10639 2.01258279 0.92907969 115.312500 53.232345
    Unten links KachelX 26879 KachelY + 1 10640 2.01239105 0.92896491 115.301514 53.225769
    Unten rechts KachelX + 1 26880 KachelY + 1 10640 2.01258279 0.92896491 115.312500 53.225769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92907969-0.92896491) × R
    0.000114779999999981 × 6371000     		dl = 731.263379999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92907969-0.92896491) × R
    0.000114779999999981 × 6371000     		dr = 731.263379999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01239105-2.01258279) × cos(0.92907969) × R
    0.000191739999999996 × 0.598571467857098 × 6371000     		do = 731.200264076111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01239105-2.01258279) × cos(0.92896491) × R
    0.000191739999999996 × 0.598663410660725 × 6371000     		du = 731.312579156101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92907969)-sin(0.92896491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598571467857098-0.598663410660725)×R²
    abs(2.01258279-2.01239105)×9.19428036266767e-05×R²
    0.000191739999999996×9.19428036266767e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.19428036266767e-05×40589641000000     		ar = 534741.043104654m²